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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la dérivation}}\end{center}

%Exercices livre Bordas



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On pose $f(x)=x^3-x-1$, où $x\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.

\item Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ au point d’abscisse 2.

\end{enumerate}

\subsection{}
On pose$f(x)=\dfrac{1}{	4x-1}$, où $x\in\left]\dfrac{1}{4}~;~+\infty\right[$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x>\dfrac{1}{4}$, calculer $f'(x)$.

\item Montrer que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse $\dfrac{3}{4}$
est $y = -x +\dfrac{5}{4}$

\end{enumerate}


\subsection{}
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer l'expression de $f'(x)$, étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f$.

\begin{enumerate}[a) ]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :  $f(x)=x^3-3x$.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par :  $f(x)=-x+\dfrac{3}{x}$.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-5\right\}$ par :  $f(x)=\dfrac{2x-5}{x+5}$.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :  \[f(x)=\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{4}x^2-x+\dfrac{1}{12}.\]
\end{enumerate}

\subsection{}
On pose $f(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{2}{t}$, $t\neq 0$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$.

\item En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^*$.
\end{enumerate}


\subsection{}
On modélise la concentration dans le sang, en microgramme par litre ( $\mu$g.L$^{-1}$ ) d’un anesthésiant, $t$ heures après son administration par la fonction \[f : t\mapsto \dfrac{20}{0,005t^2+0,1t+1}\] où $t\in[0~;~36]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ où $t\in[0~;~36]$.

\item En déduire le sens de variation de $f$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

\item On estime qu’un patient auquel on a administré cet anesthésiant peut rentrer chez lui quand la concentration du médicament est inférieure à 10\:\% de sa concentration au  moment de son administration.\\
Après combien d’heures ce patient pourra-t-il rentrer chez lui ?

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.\\
On note $f'$ la dérivée de $f$, $f''$ la dérivée seconde de $f$, définie par $f''=\left(f'\right)'$ (dérivée de $f'$) puis $f^{(3)=\left(f''\right)'}$ et plus généralement $f^{(n)}=\left(f^{(n-1)}\right)'$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.

\item Calculer $f''(x)$, puis $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$, $f^{(5)}(x)$.

\item Émettre une conjecture sur l'expression de $f^{(n)}(x)$ puis démontrer celle-ci.
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère une entreprise qui produit du jus de fruits. Sa capacité quotidienne de production est égale à \SI{600}{L}, et, pour $x$ hL de jus de fruits, le coût total de production quotidien est donné, en dizaines d’euros par \[C(x)=\dfrac{1}{2}x^3-3x^2+7x+50\] où $x\in[0~;~6]$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $C(0)\neq 0$. Donner une explication concrète de ce fait.

\item 
\begin{enumerate}
\item Quelle conjecture peut-on formuler sans calcul sur le sens de variation de $C$ sur [0~;~6] ? Expliquer.

\item Prouver cette conjecture par le calcul.
\end{enumerate}

\item Le coût moyen de fabrication de $x$ hL, si $x$ hL ont déjà été produits, avec $x>0$, est défini par \[C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout x dans ]0~;~6], on a :
\[C_M'(x)=\dfrac{(x-5)\left(x^2-2x+10\right)}{x^2}\]

\item En déduire la quantité de production pour laquelle le coût moyen est minimal et préciser ce coût en euro.

\item En sciences économiques, on appelle coût marginal le coût de production d’une unité supplémentaire.\\
Ce coût, qui dépend de la quantité x déjà produite, est modélisé par la fonction $C'$, dérivée de $C$.\\
Montrer que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.

\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{multicols}
  \label{fin}
\end{document}