\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat sur la fonction logarithme }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers mai 2022 sujet 2}}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x\ln (x) + 1\]

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.\index{limite de fonction}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on notera $f'$ sa fonction dérivée.
		
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif :
\[f'(x) = 1 + \ln (x).\]\index{dérivée}

		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. On y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$ et les limites.\index{tableau de variations}
		\item Justifier que pour tout $x \in  ]0~;~1[,\:f(x) \in ]0~;~1[$.
	\end{enumerate}	
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.\index{equation de tangente@équation de tangente}
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.\index{convexité}
		\item En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif :\[f(x) \geqslant x\]
		
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l'intervalle ]0~;~1[ et pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = f\left(u_n\right)\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < 1$.\index{récurrence}
		\item Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{convergence de suite}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie mai 2022 sujet 1}}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On considère les points A(1~;~3) et B(3~;~5).

On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente (AB) à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-7,-2.25)(8,6.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-2.25)(8,6.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{8}{x dup mul 1 add ln 3 add 2 ln sub}
\psplot[linestyle=dashed]{-7}{8}{x 2 add}
\uput[dr](1,3){A}\uput[ul](3,5){B}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,3)(3,5)
\uput[d](-5.5,5.75){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.\index{lecture graphique}
\item La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.\index{fonction logarithme}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$.\index{dérivée}
		\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction paire.\index{fonction paire}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.\index{limite de fonction}
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$.\index{dérivée}

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.\index{tableau de variations}
\item À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions.\index{valeurs intermédiaires}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln 2$.\index{equation@équation}
\end{enumerate}


\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2)$.

\begin{enumerate}
\item Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion
de la courbe $\mathcal{C}_f$.\index{lecture graphique}
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.\index{dérivée seconde}
\item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.\index{convexité}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2017}}
Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l'exercice est d'étudier l'équation 
\[\left(E_n\right) : \qquad  \dfrac{\ln (x)}{x}  = \dfrac{1}{n}\] ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$. 

\bigskip


\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) =  \dfrac{\ln (x)}{x}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 

On donne ci-dessous  la courbe représentative $\mathcal{C}_f$  de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=20cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2,-0.15)(14,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-2,-0.15)(14,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(14,0.4)
\psline(-2,0.2)(14,0.2)
\psline(-2,0.25)(14,0.25)
\psline(-2,0.333)(14,0.333)
\uput[u](11,0.333){$y=\dfrac{1}{3}$}
\uput[u](11,0.25){$y=\dfrac{1}{4}$}
\uput[d](5,0.2){$y=\dfrac{1}{5}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.8}{14}{x ln x div}
\uput[r](1,-0.1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer son maximum. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $n \geqslant 3$, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur [1~;~e] notée $\alpha_n$.  
\item D'après ce qui précède, pour tout entier $n \geqslant 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l'équation $\left(E_n\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d'équations respectives :\\
		$y= \dfrac{1}{3}$, $y= \dfrac{1}{4}$, $y= \dfrac{1}{5}$. 

Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. 
		\item Comparer, pour tout entier $n \geqslant  3$, $f\left(\alpha_n\right)$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)$. 

Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. 
		\item En déduire que la suite $\left(\alpha_n\right)$ converge. \index{suite}

\emph{Il n'est pas demandé de calculer sa limite.} 
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 3$, l'équation $\left(E_n\right)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que 

\[1 \leqslant \alpha_n \leqslant \text{e} \leqslant \beta_n.\] 

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante. 

Établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3,

\[\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}.\] 

		\item En déduire la limite de la suite $\left(\beta_n\right)$.\index{limite de suite}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  