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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les intégrales}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La suite $\left(I_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par : \[I_n=\int_0^1\left(1+t^n\right)\text{ d}t.\]
\begin{enumerate}
\item Prouver que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.

\item Est-elle convergente ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose : \[I_n=\int_n^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $\dfrac{1}{n+1}\leqslant I_n\leqslant \dfrac{1}{n}$.

\item La suite $\left(I_n\right)$ est-elle convergente ?

\item On pose, pour tout entier naturel non nul $n$ : \[u_n = 1+ \dfrac12 + \dfrac13 +\cdots+ \dfrac1n.\]
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2018}}
On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle [1~;~5J par:

\[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\]
 .
Pour tout entier $n > 0$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.
 
Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n$ appartenant à 
 $\{1~;~2~;~3~;~4\}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.75cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(5.2,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(5.2,0.7)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{5}{x ln x div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{5}{x ln x dup mul div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{5}{x ln x 3 exp  div}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{5}{x ln x 4 exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :

\[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]

\item  Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5].

On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum.

Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation

\[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :

\[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]
		
		\item  Montrer que pour tout entier $n > 1$ :
		
\[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\]

		\item  Pour tout entier $n > 0$, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe $f_n$,
c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 1$, $x = 5$, $y = 0$
et la courbe $\mathcal{C}_n$.

Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2014}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A} }

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par  $\mathcal{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$  définie sur $\mathbb{R}$ par : 

\[f_1(x) = x +  \text{e}^{-x}.\]


\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonnées (0~;~1). 
\item  Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

L’objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : 

\[I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x.\] 


\begin{enumerate}
\item  Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ , pour tout entier naturel $n$, on note 
$\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\mathbb{R}$ par 

\[f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}. \]

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe  $\mathcal{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = 1$. 

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.4)(1.3,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.3,-0.1)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,1.4)\uput[r](1,0.5){$\mathcal{D}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,1){A}
%\multido{\n=1+1}{4}{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.2}{1.3}{2.71828 x \n mul  neg exp x add}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x   neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 2 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 3 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 4 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 6 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 15 mul  neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 60 mul  neg exp x add}
\uput[u](0.6,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[u](0.6,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](0.5,0.7){$\mathcal{C}_{3}$}\uput[u](0.4,0.6){$\mathcal{C}_{4}$}
\uput[u](0.3,0.45){$\mathcal{C}_{6}$}\uput[u](0.2,0.25){$\mathcal{C}_{15}$}
\uput[u](0.1,0.15){$\mathcal{C}_{60}$}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement l'intégrale $I_{n}$. 
		\item En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de   variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie   pour conjecturer. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, 

 
\[I_{n+1} - I_{n} = \int_{0}^1 \text{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \text{e}^{x}\right)\:\text{d}x.\] 
 

En déduire le signe de $I_{n+1} - I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. 
\item Déterminer l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$. 
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
