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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la loi binomiale}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère qu'à un concours, un candidat a 20\:\% de chances de réussir.\\
On prend un groupée 25 candidats au hasard.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'au moins deux candidats réussissent ?

\item Quelle est la probabilité qu'au plus deux candidats réussissent ?

\item Quelle est la probabilité que dix candidats réussissent ?

\item Calculer le nombre moyen de candidats qui réussissent sur 25 candidats qui passent le concours.

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2016 (extrait)}}	
Un fabricant d'ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65~\% de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication:
\begin{itemize}
\item à la sortie de la machine A, 8~\% des ampoules présentent un défaut;
\item à la sortie de la machine B, 5~\% des ampoules présentent un défaut.
\end{itemize}
On définit les événements suivants:
\begin{itemize}
\item $A$: \og l'ampoule provient de la machine A\fg{};
\item $B$: \og l'ampoule provient de la machine B\fg{};
\item $D$: \og l'ampoule présente un défaut\fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d'une journée.
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré représentant la situation.
\item Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à \np{0,9305}.
\item L'ampoule tirée est sans défaut.

Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A.
\end{enumerate}
\item On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d'une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à tirages avec remise.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2012} }
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{3mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, 
\item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, 
\item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{\ldots}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}		 		
}
\end{center} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. 
		\item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.
		 
Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
	\end{enumerate} 
\item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 		 
\item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2011}}
\emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.

Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus.

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE A}}

\medskip

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.

$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$.
		
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \numprint{0,0492}.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul la phrase :
		
\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg.
		\item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE B}}

\medskip

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
\begin{enumerate}
\item Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  