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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les limites de fonctions}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{2-x^2}{x^2+1}$.\\
La courbe représentative $\mathscr{C}_g$ de $g$ admet-elle une asymptote ? Si oui, laquelle ?

\subsection{}
Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ des fonctions définies par les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\dfrac{x^2+2}{1-x}$

\item $g(x)=\dfrac{x+3}{-2x^2+1}$
\end{enumerate}


\subsection{}
Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}\dfrac{x}{3x-6}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\dfrac{x}{3x-6}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}\dfrac{x^2}{4-x}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}\dfrac{x^2}{4-x}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)$
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
On définit la fonction $f$ par $f(x)=\dfrac{3x+1}{5-x}$..\\
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$f dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Donner l’ensemble de définition de $f$.

\item Étudier les limites de $f$ aux bornes de l’ensemble de définition de $f$.\\
Donner l’équation des asymptotes horizontales et verticales éventuelles.

\item Déterminer la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ avec la droite d’équation $y= -3$.

\end{enumerate}

\subsection{}
On définit la fonction $f$ par $f(x)=\dfrac{2x^2-3x-1}{x-1}$.\\
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ d’unité 1 \si{\centi\metre}.

\begin{enumerate}[1)]
\item Donner l’ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$.

\item Etudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition de $f$.\\
Donner l’équation des asymptotes horizontales et verticales éventuelles.

\item 
\begin{enumerate}[a)]

\item Montrer que, pour tout $x\in\mathscr{D}$, \[f(x)=2x-1-\dfrac{2}{x-1}.\]

\item En déduire les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $d$ définie par : $d(x)=f(x)-(2x-1)$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on peut alors en déduire que la droite $\Delta$ d’équation $y= 2 - 1$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

\item Etudier la position de la droite $\Delta$ par rapport à la courbe $\mathscr{C}$.

\end{enumerate}

\item Etudier les variations de $f$ sur son ensemble de définition $\mathscr{D}$ et dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.

\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en 2.

\item Tracer les asymptotes, la tangente en 2 et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  