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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la convexité}}\end{center}
%https://www.maths91.fr/coursTermMATHSCOMP/TermMC-01-modeles_definis_par_une_fonction-exercices.pdf

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x + 1) \mathrm{e}^{2x+1} -1$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur R puis dresser son tableau de variation.

\item Démontrer que, sur l’intervalle $\left[-\dfrac{5}{6}~;~1\right]$, l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0, 01 près.

\item En déduire le signe de $f$ sur $\left[-\dfrac{5}{6}~;~+\infty\right[$.

\item Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$ sur $\mathbb{R}$, et en déduire la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.\\
La courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ admet-elle des points d’inflexion ?\\
Si oui, donner les coordonnées du (ou des) point(s) d’inflexion de $\mathscr{C}_f$ .

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Métropole septembre 2014}}
On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, dans un repère orthonormé. 

Les points suivants appartiennent à la courbe : A$(-2~;~0)$ ; B$(0~;~-6)$ et C(3~;~0). 

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-8.5)(10,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=6](0,0)(-4,-8)(9.5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.99,-7.99)(10,5)
\uput[ur](-2,0){A}\uput[dr](0,-6){B}\uput[ul](3,0){C}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.299}{10}{x dup mul x sub 6 sub  2.71828 x 0.5 mul exp div}
\rput(3,-8.5){Courbe représentative de la fonction $f''$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\emph{Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d'arguments graphiques.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? 
\item Sur $[- 2~;~3]$, la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ? 
\item Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction $f$ : laquelle ? Justifier la réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Courbe 1& Courbe 2 \\ \hline
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 20 x mul add 32 add 2.71828 0.5 0.5 x mul sub exp mul}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 28 x mul add 56 add 0.606531 x exp mul}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  
