\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{empty} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} %\tableofcontents \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les équations différentielles}}\end{center} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \subsection{\textcolor{blue}{Quand boire sa tasse de café ?}} La loi du refroidissement s'énonce ainsi en général : \og{} La vitesse de refroidissement d'un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et la température ambiante. \fg{} \begin{enumerate} \item On note $T_0$ la température ambiante et $T$ la température à l'instant $t$ du corps considéré. ($T$ est une fonction de $t$.) Montrer que $T$ vérifie l'équation différentielle : $T'=k(T-T_0)$. \item Résoudre cette équation différentielle. \item Dans une pièce où la température est de 20 \textcelsius, une personne verse du café à 80 \textcelsius dans une tasse. Deux minutes plus tard, le café est à 60 \textcelsius.\\ Au bout de combien de temps la personne pourra-t-elle déguster son café, qu'elle aime consommer à 40 \textcelsius ? \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Bac : sujet 0 année 2020}} Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225 \textcelsius. On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four. On admet qu’on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$. Dans cette modélisation, $f(t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four. Ainsi,$f(0,5)$ représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four. Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25 \textcelsius. On admet alors que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $y'+ 6y = 150$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser la valeur de $f(0)$. \item Résoudre l’équation différentielle $y'+6y = 150$. \item En déduire que pour tout réel $t\geqslant 0$, on a \[f(t) = 200 \mathrm{e}^{-6t}+25.\] \end{enumerate} \item Par expérience, on observe que la température d’une baguette sortant du four : \begin{itemize} \item décroît ; \item tend à se stabiliser à la température ambiante. \end{itemize} La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ? \item Montrer que l’équation $f(t) = 40$ admet une unique solution dans $[0~;~+\infty[ $. Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à 40 \textcelsius. On note $\mathcal{T}_0$ le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon. On donne en page suivante la représentation graphique de la fonction $f $dans un repère orthogonal.% ci-dessous \begin{center} \psset{xunit=3.5cm,yunit=0.025cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=0.1pt} \begin{pspicture}(-0.4,-20)(2.50,260) \multido{\n=0.0+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-20)(\n,250)} \multido{\n=0+20}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.1,\n)(2.1,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(2.1,250) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{2.1}{2.71828 x 6 mul neg exp 200 mul 25 add} \uput[d](1.75,-15){\footnotesize Durée en heure} \uput[r](0,230){\footnotesize Température en degré Celsius} \uput[ur](0.3,60){\blue $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture} \end{center} \item Avec la précision permise par le graphique, lire $\mathcal{T}_0$. On donnera une valeur approchée de $\mathcal{T}_0$ sous forme d’un nombre entier de minutes. \item On s’intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d’une baguette à sa sortie du four. Ainsi, pour un entier naturel $n$, $\mathcal{D}_n$ désigne la diminution de température en degré Celsius d’une baguette entre la $n$-ième et la $(n+1)$-ième minute après sa sortie du four. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : \[\mathcal{D}_n=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right).\] \smallskip \begin{enumerate} \item Vérifier que 19 est une valeur approchée de $\mathcal{D}_0$ à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. \item Vérifier que l’on a, pour tout entier naturel $n$: \[\mathcal{D}_n = 200 \mathrm{e}^{-0,1n}\left(1 - \mathrm{e}^{-0,1}\right).\] En déduire le sens de variation de la suite $\left(\mathcal{D}_n\right)$, puis la limite de la suite $\left(\mathcal{D}_n\right)$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{multicols} \label{fin} \end{document}