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% pour le pied de page central
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\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la convexité}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Pour tout réel $x$, on pose $f(x)=3x^3+3x^2-4x+1$.


\begin{enumerate}[1)]
\item Pour tout réel $x$, déterminer $f''(x)$.

\item En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe.

\item La courbe représentative de la fonction $f$ possède-t-elle un point d’inflexion ? Si oui, en quelle abscisse ?

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f:x\mapsto\sqrt{x}$, définie sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Pour tout réel $x>0$, déterminer une expression de $f'(x)$ et de $f''(x)$.

\item $f$ est-elle convexe ou concave sur $]0~;~+\infty[$ ?

\item Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1.

\item En déduire que pour tout réel $x>0$, $\sqrt{x}\leqslant \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$.\\
Représenter graphiquement cette inégalité.

\subsection{}
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f:x\mapsto x^n$.

\begin{enumerate}[1)]
\item La fonction $f$ est-elle convexe ou concave sur $[0~;~+\infty[$ ?

\item En utilisant la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse 0, montrer que pour tout réel $x\geqslant 0$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$.

\item Quelle inégalité a-t-on redémontré ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}



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\vspace{1cm}

\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la convexité}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Pour tout réel $x$, on pose $f(x)=3x^3+3x^2-4x+1$.


\begin{enumerate}[1)]
\item Pour tout réel $x$, déterminer $f''(x)$.

\item En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe.

\item La courbe représentative de la fonction $f$ possède-t-elle un point d’inflexion ? Si oui, en quelle abscisse ?

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f:x\mapsto\sqrt{x}$, définie sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Pour tout réel $x>0$, déterminer une expression de $f'(x)$ et de $f''(x)$.

\item $f$ est-elle convexe ou concave sur $]0~;~+\infty[$ ?

\item Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1.

\item En déduire que pour tout réel $x>0$, $\sqrt{x}\leqslant \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$.\\
Représenter graphiquement cette inégalité.

\subsection{}
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f:x\mapsto x^n$.

\begin{enumerate}[1)]
\item La fonction $f$ est-elle convexe ou concave sur $[0~;~+\infty[$ ?

\item En utilisant la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse 0, montrer que pour tout réel $x\geqslant 0$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$.

\item Quelle inégalité a-t-on redémontré ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  