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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité Terminale : Devoir sur feuille \no 3}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Magnard \no 47 page 125
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = (2x- 5)\left(1 - \mathrm{e}^{-x}\right).\]

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}.
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[g(x)= 2\mathrm{e}^{x} + 2x- 7.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.

\item Montrer que la fonction $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$. 

\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. 

\item Montrer que $\alpha\in[0~;~1]$ puis déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près à l'aide d'une calculatrice. 
\end{enumerate}

\item En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.

\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie  B}}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.

\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ et montrer que $f'(x)=g(x)\mathrm{e}^{-x}$.

\item Déterminer le signe de $f$' sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

\item Démontrer que $f(\alpha)=\dfrac{(2\alpha-5)^2}{2\alpha-7}$ puis déduire une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-3}$ près. 

\item Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty} [f(x) - (2x - 5)]$. \\
En déduire que la droite $\mathscr{D}$  d'équation $y= 2x- 5$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ en  $+\infty$. 
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Partie C}} \\
Pour tout entier naturel $n\geqslant 3$, on considère les points $A_n$, $B_n$ et $C_n$ d'abscisse $n$, appartenant respectivement à l'axe des abscisses, la droite $\mathscr{D}$ et la courbe $\mathscr{C}_f$.\\ 
Soit $u_n$ le réel défini par : $u_n=\dfrac{C_nB_n}{A_nB_n}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a : $u_n=\dfrac{2n-5-f(n)}{2n-5}$.

\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? 

\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{}
%Magnard \no 62 page 293

Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points suivants A(0~;~1~;~-1), B(2~;~1~;~0), C(-3~;~-1~;~1) et D(7~;~3~;~-1).\\
Déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ forment une base de l'espace. 




\subsection{}
%Magnard \no 94 page 296

On considère les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ données par leur représentation paramétrique suivantes :
\[d_1\begin{cases}x=k_1\\y=3+k_1\\z=1+2k_1\end{cases}~,k_1\in\mathbb{R}\hspace{1cm}d_2\begin{cases}x=3+3k_2\\y=-3k_2\\z=-3-4k_2\end{cases}~,k_2\in\mathbb{R}\hspace{1cm}d_3\begin{cases}x=-2+4k_3\\y=1+4k_3\\z=1\end{cases}~,k_3\in\mathbb{R}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que c'est trois droites sont concourantes en un même point que l'on déterminera.

\item Ces trois droites sont-elles coplanaires ? Justifier.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite de Héron}}%https://xymaths.fr/Informatique-Programmation/Exercices-maths/Suite-Heron/
Héron d'Alexandrie était une mathématicien du 1\ier{} siècle après J.C.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Dresser le tableau de variation de $f$. (Attention à la valeur interdite)

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$  définie par : $\begin{cases}u_0=\dfrac{3}{2}\\u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{cases}$  
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$ sous forme de fractions irréductibles.

\item Écrire un algorithme / programme permettant de calculer et afficher les valeurs des dix premiers termes de cette suite.

\item Conjecturer à l'aide de ces valeurs le sens de variation et la limite de la suite.

\item Démontrer, par récurrence, que pour tout $n\in $, on a : $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{3}{2}$

\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\\
Déterminer sa limite.

\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}-\sqrt{2}\leqslant \dfrac{1}{2}\left(u_n-\sqrt{2}\right)$.

\item E,n déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0<u_n-\sqrt{2}\leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(u_0-\sqrt{2}\right)$

\item Retrouver alors la limite de $u_n$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{Étude de la figure appelée \og Flocon de Von Koch \fg}} %suite géométrique



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Construction de cette figure :}}\\
$C_0$ est un triangle équilatéral de côté 1 (figure 1). Sur chacun des côtés de $C_0$ partagé en trois segments de même longueur, on construit trois nouveaux triangles équilatéraux comme l'indique la figure ci)dessous : on obtient le polygone $C_1$.On réitère ce processus et ce jusqu'à l'infini. La figure \textbf{limite} obtenue est appelée Flocon de Von Koch (ou flocon de neige).\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(12,3)
\psset{fillcolor=lime,fillstyle=solid}
\multido{\iA=0+1,\iB=0+2}{3}{%
\psKochflake[angle=-30,scale=3,maxIter
=\iA](\iB,2.5)}
\end{pspicture}
%\psdot*(\iB,2.5)
%\psKochflake[scale=3,maxIter=\iA](\iB
%,0)\psdot*(\iB,0)
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(12,2)
\psset{fillcolor=lime,fillstyle=solid}
\multido{\iA=3+1,\iB=0+2}{3}{%
\psKochflake[angle=-30,scale=3,maxIter
=\iA](\iB,2.5)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
Flocon de Von Koch :
\end{center}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.4,-0.1)(5,2.3)
\psKochflake[scale=4,linecolor=black]
%\psdot[linecolor=red,dotstyle=*](0,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Notations}} : On note $C_n$ le polygone obtenu à la n-ième étape, $x_n$ le nombre de ses côtés, $a_n$ la longueur de chaque côté, $p_n$ son périmètre et $S_n$ son aire.\\
Sur la figure ci-dessus, on a construit les polygones $C_0$, $C_1$, \dots, $C_5$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $x_1$, $a_1$, $p_1$, $S_1$ et $x_2$, $a_2$, $p_2$, $S_2$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$. En déduire l'expression de $x_n$ explicitement en fonction  de $n$.

\item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$. En déduire l'expression de $a_n$ explicitement en fonction de $n$.

\item Exprimer $p_n$ en fonction de $n$. Quelle est la limite de la suite $(p_n)$ ?
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $S_{n+1}=S_n+\frac{\sqrt{3}}{12}\left(\frac{4}{9}\right)^n$ et en déduire que, pour tout naturel $n\geqslant 1$,
\[S_n=S_0+\frac{\sqrt{3}}{12}\left[1+\frac{4}{9}+\left(\frac{4}{9}\right)^2+...+\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right]\]

\item Quelle est la limite de la suite $(S_n)$ ?\\
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : Compléter la phrase suivante:\\
Le flocon de Von Koch est une figure plane fermée de périmètre infini, mais dont l'aire vaut \dots.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : c'est une fractale (courbe invariante par changement d'échelle, c'est-à-dire qu'en en regardant une partie avec une loupe, on retrouve la courbe initiale)


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}