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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : DM \no 2}}\end{center}
\begin{center}
\emph{\og{} L'essence des mathématiques, c'est la liberté.\fg{} [Georg Cantor]}
\end{center}

\fbox{\begin{minipage}{15cm}
\textbf{\textcolor{blue}{\textcolor{red}{Quelques rappels de présentation}:}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Il faut écrire son nom en \textbf{CAPITALES D'IMPRIMERIE}	

\item Il faut sauter une :ligne entre deux questions.

\item On n'écrit pas en dehors des lignes ; si on est en bas de page, on tourne la page !

\end{enumerate}

\end{minipage}}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite homographique}}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=2$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$,  \[u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item  Calculer $u_1$ et $u_2$.

\item Montrer par récurrence que $u_n\neq 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

\item On pose $v_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-1}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique ; on précisera la raison et le premier terme.

\item En déduire $v_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire alors $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsection{}%https://www.math93.com/images/pdf/Term_Specialite/DS/ds-2020-2021/DS2-Tle-Suites-2020_2021.pdf
%Correction : https://www.math93.com/images/pdf/Term_Specialite/DS/ds-2020-2021/DS2-Tle-Suites-2020_2021-corr.pdf
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par : \[\begin{cases}u_0 = 5\\u_{n+1} =\sqrt{2u_n- 1}.\end{cases}.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant  u_n\leqslant 3$.

\item Que peut-on en déduire ? (soyez le plus précis possible)

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Conformité à un modèle}}%Tale Hatier n° 155 page 179

Un groupe de spécialistes en environnement étudie le taux de disponibilité des ressources nécessaires pour le développement d'une population de grenouilles autour d'un étang. Ce taux dépend notamment de la quantité de nourriture à disposition et de la qualité de l'environnement.\\
Une étude, menée en 2020 par ce groupe, a permis d'estimer le taux de disponibilité des ressources à 0,9, ce qui signifie que 90\:\% des ressources étaient disponibles. \\
On modélise le taux de disponibilité des ressources par la suite $\left(T_n\right)$, définie sur $\mathbb{N}$ par $T_0 = 0,9$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $T_{n+1} = T_n-0,1\left(T_n\right)^2$, où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis 2020. 

\begin{enumerate}[1)]
\item Certains spécialistes estiment qu'en 2025, le taux de disponibilité des ressources sera proche de 0,6.\\
Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Justifier . 

\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0~;~1]$ par $f(x)=x-0,1x^2$.

\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant  T_{n + 1}\leqslant T_n\leqslant 1$. 

\item La suite $\left(T_n\right)$ est-elle convergente? Justifier.

\item Le groupe de spécialistes affirme que, selon ce modèle, le taux de disponibilité des ressources va passer à un niveau inférieur à 40\:\% dans les prochaines années, et qu'il est capable de déterminer en quelle année ce seuil sera atteint.\\ 
Cette affirmation est-elle conforme au modèle? Pourquoi? 

\end{enumerate}
%Sujet adapté, Bac S, Polynésie, septembre 2019. 

%\subsection{}%https://www.annales2maths.com/ts-exercices-bac-suites-debut-dannee/
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item  Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
%
%
%\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} $. 
%\end{enumerate}
%
%
%
%\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} < 1$. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. 
%
%
%\item  Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
%
%\end{enumerate}
%
%
%\item Soit$\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par \[v_{n} = \dfrac{ u_{n}}{1-u_{n}}.\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 3. 
%
%
%\item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_{n}$ en fonction de $n$. 
%
%
%
%\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n}=\dfrac{3^{n}}{3^{n}+1}.\]
%
%
%\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}


%On considère la suite  $\left(u_n\right)$ définie par : 
% 
% et telle que pour tout entier naturel  :
% 
%
%a. Calculer  et .
%b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel , .
%On admet que  pour tout entier naturel .
%Montrer que la suite  est croissante.
%Soit  la suite définie, pour tout entier naturel , par 




%\subsection{}% Bac Amérique du Nord juin 2021
%Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.
%
%Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.
%
%\smallskip
%
%Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_0		&=	&0,6\\
%u_{n+1}	&=	&0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right)
%\end{array}\right.\]
%
%où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
%\end{enumerate}
%
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par 
%
%\[f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1] et dresser son tableau de variations.
%\item Résoudre dans l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$.
%\end{enumerate}
%
%On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$.
%		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
%		\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
%	\end{enumerate}
%\item Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
%		\item Le biologiste a programmé en langage Python la fonction \textbf{menace()} ci-dessous:
%
%\begin{center}
%\fbox{
%\begin{tabular}{l}%\hline
%def menace()\\
%\quad u = 0,6\\
%\quad n = 0\\
%\quad while u > 0,02\\
%\hspace{1cm} u = 0,75*u*(1-0,15*u)\\
%\hspace{1cm} n = n+1\\
%\quad return n\\ %\hline
%\end{tabular}
%}
%\end{center}
%
%Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). 
%
%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{}
Étudier les variations sur $]-2~;~1[$ de la fonction $f$ définie par \[f (x) =\dfrac{ -5x^2 + 4x - 8}{x^2+x-2}.\]

\subsection{}

On considère la fonction $f$ définie par : \[f(x)=\dfrac{2x^2 + 6x + 1}{x^2 + 2}.\]
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal. 

\begin{enumerate}
\item Donner l'ensemble de définition de $f$.

\item Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe.

\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [-10 ~;~10].

\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 0.\\
Représenter la courbe $\mathscr{C}$ et sa tangente $T$.

\item Déterminer le nombre de points communs à la courbe $\mathscr{C}$ et à sa tangente $T$.\\ 
Quelles sont les coordonnées de ce(s) point(s) ? Préciser les positions relatives de $\mathscr{C}$ et $T$. 

\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{}% D'après bac ES centres étrangers 2019
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip 

Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$. On a placé les points A(0~;~2), B(2~;~0) et C$( -2~;~0)$. 

On dispose des renseignements suivants: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item[$\bullet~~$]La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item[$\bullet~~$]La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-10,-1.5)(2.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=5,subgriddiv=1](-10,-2)(3,4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=3](0,2)(2,0)(-2,0)
\uput[dr](0,2){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[ul](-2,0){C} 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-10,-1.5)(2.5,3.5)
\uput[ur](1.7,2){\blue$\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\psline(-10,2.71828)(2,2.71828)
\psline(-3,-1)(1.5,3.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
\item Indiquer la valeur de $f'(1)$. 
\item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A. 
\item  Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$. 
\item  Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip 

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A. 

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle 
$[-10~;~2]$ par : 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x.\]


. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et $f(2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[-10~;~2]$. 
		\item En déduire la valeur de $f'(1)$. 
	\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. 
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
	\end{enumerate}

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  