\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/4} \begin{document} %\tableofcontents \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de. la feuille}}\end{center} \subsection{} La suite $\left(I_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par : \[I_n=\int_0^1\left(1+t^n\right)\text{ d}t.\] \begin{enumerate} \item %Prouver que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante. Pour tout $n$, $I_{n+1}-I_n=\int_0^1\left(1+t^{n+1}\right)\text{ d}t-\int_0^1\left(1+t^{n}\right)\text{ d}t=\int_0^1\left(t^{n+1}-t^n\right)\text{ d}t=\boxed{\textcolor{red}{\int_0^1\left(t^n(t-1)\right)\text{ d}t}}$.\ \bigskip Sur $[0~;~1]$, $t-1\leqslant 0$ et $t^n\geqslant 0$ donc $t^n(t-1)\leqslant 0$ donc l'intégrale est négative.\\ $I_{n+1}-I_n\leqslant 0$ donc la suite $\left(I_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}. \item %Est-elle convergente ? Elle est positive car on intègre des fonctions positives.\\ $\left(I_n\right)$ est décroissante positive (donc minorée) ; elle \textbf{\textcolor{red}{converge}}. \bigskip Remarque : $F_n(t)=t+\dfrac{t^{n+1}}{n+1}$ en posant $f_n(t)=1+t^n$ d'où $I_n=\left[t+\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=1+\dfrac{1}{n+1}$ qui converge vers 1, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=1}}$ \end{enumerate} \subsection{} Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose : \[I_n=\int_n^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x.\] \begin{enumerate} \item %Démontrer que $\dfrac{1}{n+1}\leqslant I_n\leqslant \dfrac{1}{n}$. %: $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $[n~;~n+1]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n+1}\leqslant \dfrac{1}{x}\leqslant \dfrac{1}{n}}}$ pour $x\in[n~;~n+1]$.\\ En intégrant (conservation de l'ordre), on trouve : \\ $\int_n^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\text{ d}x\leqslant \int_n^{n+1}\dfrac{1}{x}\text{ d}x\leqslant \int_n^{n+1}\dfrac{1}{n}\text{ d}x$\\ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n+1}\leqslant I_n\leqslant \dfrac{1}{n}}}$.\\ \item %La suite $\left(I_n\right)$ est-elle convergente ? $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n+1}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}=0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0}}$ d'après le théorème des gendarmes.\\ \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $I_n=\left[\ln x\right]_n^{n+1}=\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ qui tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$. \item On pose, pour tout entier naturel non nul $n$ : \[u_n = 1+ \dfrac12 + \dfrac13 +\cdots+ \dfrac1n.\] %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ diverge vers $+\infty$. On a successivement :\\ $\dfrac{1}{2}\leqslant I_1\leqslant 1$\\ $\dfrac{1}{3}\leqslant I_2\leqslant \dfrac{1}{2}$\\ $\dfrac{1}{4}\leqslant I_3\leqslant \dfrac{1}{3}$\\ \vdots\\ $\dfrac{1}{n+1}\leqslant I_n\leqslant \dfrac{1}{n}$.\\ Par somme : $\dfrac12 + \dfrac13 +\cdots+ \dfrac1n\leqslant I_1+I_2+\ cdots+I_n\leqslant 1+ \dfrac12 + \dfrac13 +\cdots+ \dfrac1n$.\\ Or $I_1+I_2+\cdots+I_n=\int_1^n\dfrac{1}{x}\text{ d}x=\left[\ln x\right]_1^n=\ln(n)$ qui tend vers $+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2018}} On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle [1~;~5J par: \[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\] . Pour tout entier $n > 0$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n$ appartenant à $\{1~;~2~;~3~;~4\}$. \begin{center} \psset{xunit=1.8cm,yunit=5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(5.2,0.7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(5.2,0.7) \psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{5}{x ln x div} \psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{5}{x ln x dup mul div} \psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1}{5}{x ln x 3 exp div} \psplot[plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{5}{x ln x 4 exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :\[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\] $f_n=\dfrac{u}{v_n}$ avec $\begin{cases}u(x)=\ln x\\v_n(x)=x^n\end{cases}$. $f'=\left(\dfrac{u}{v_n}\right)'=\dfrac{u'v_n-uv_n'}{v_n^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v_n'(x)=nx^{n-1}\end{cases}$. Alors : $f_n'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^n-nx^{n_1}\ln x}{x^{2n}}=\dfrac{x^{n-1}\left(1-n\ln x\right)}{x^{2n}}=\dfrac{1-n\ln x}{x^{2n-(n-1)}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1-n\ln x}{x^{n+1}}}}$. \item Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5]. On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum. %Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation L'abscisse $x_n$ de $A_n$ est la valeur pour laquelle $f_n'(x)$ s'annule, donc $1-n\ln x_n=0 \iff x_n=\mathrm{e}^{\frac1n}\in[1~;~5]$. %\[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\] L'ordonnée de $A_n$ est alors $y_n=f_n\left(x_n\right)=\dfrac{\ln\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)}{\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)^n}=\dfrac{\frac1n}{\mathrm{e}^{1}}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\times \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\times \ln\left(\mathrm{e}^{\frac 1n}\right)=\dfrac{1}{\text{e}}\ln\left(x_n\right)$. Les points $A_n$ appartiennent donc à la courbe $\Gamma$ d'équation $y =\dfrac{1}{\mathrm{e}}\ln x$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] : % %\[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\] Quel que soit $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~5], $0\leqslant \ln x\leqslant \ln (5)$ car la fonction $\ln$ est croissante ; en divisant par $x^n$ positif, on trouve \[0\leqslant \dfrac{\ln x}{x^n}\leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\] \item %Montrer que pour tout entier $n > 1$ : %\[\displaystyle\int_1^5 \dfrac{1}{x^n} \:\text{d}x = \dfrac{1}{n - 1}\left(1 - \dfrac{1}{5^{n - 1}} \right).\] $\displaystyle\int_1^5\dfrac{1}{x^n}\text{ d}x=\left[-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}\right]_1^5=\dfrac{1}{n-1}\left[-\dfrac{1}{5^{n-1}}-(-1)\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)}}$. \item %Pour tout entier $n > 0$, on s'intéresse à l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface sous la courbe $f_n$, %c'est-à-dire l'aire du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 1$, $x = 5$, $y = 0$ %et la courbe $\mathcal{C}_n$. %Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+ \infty$. L'aire cherchée est $\mathcal{A}_n= \displaystyle\int_1^5f_n(x)\text{ d}x= \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln x}{x^n}\text{ d}x$. On sait que $0\leqslant \dfrac{\ln x}{x^n}\leqslant \dfrac{\ln 5}{x^n}$ donc par conservation de l'ordre, $\displaystyle\int_1^5 0\text{ d}x\leqslant \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln x}{x^n}\text{ d}x\leqslant \displaystyle\int_1^5\dfrac{\ln 5}{x^n}=\ln 5\int_1^5\dfrac{1}{x^n}\text{ d}x = \dfrac{\ln 5}{n - 1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)$. $5>1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}5^{n-1}=+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)=0$. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln 5}{n-1}=0$. Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\mathcal{A}_n=0}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2014}} \textcolor{red}{\textbf{Partie A}} \begin{enumerate} \item L'image de $0$ par la fonction $f_1$ est : $f_1(0) = 0 + \mathrm{e}^{-0} = 1$.\\ Le point d'abscisse $0$ sur la courbe $\mathcal{C}_1$, représentative de la fonction $f_1$, est le point de coordonnées $\left(0~;~f_1(0)\right)$, c'est à dire ici $\left(0~;~1\right)$. Le point $A$, de coordonnées $\left(0~;~1\right)$ est donc bien un point de la courbe $\mathcal{C}_1$. \item La fonction $f_1$ est dérivable sur \textbf{R}, en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur \textbf{R}. \\ Sa dérivée est définie sur \textbf{R} par :\\ $f_1'(x) = 1 + (-1)\mathrm{e}^{-x} = 1 - \mathrm{e}^{-x}$.\\ \begin{tabular}[t]{@{} l @{$~\iff~$} l} On a : $f_1'(x) \geqslant 0$ & $1 - \mathrm{e}^{-x}$\\ & $ 1 \geqslant \mathrm{e}^{-x}$\\ & $0 \geqslant -x$, car $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$\\ & $ x \geqslant 0$. \end{tabular}\\ On en déduit donc le tableau de variations suivant : %:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/ \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.875] % Styles \tikzstyle{cadre}=[thin] \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin] \tikzstyle{nondefini}=[lightgray] % Dimensions Modifiables \def\Lrg{1.5} \def\HtX{1} \def\HtY{0.5} % Dimensions Calculées \def\lignex{-0.5*\HtX} \def\lignef{-1.5*\HtX} \def\separateur{-0.5*\Lrg} % Largeur du tableau \def\gauche{-1.5*\Lrg} \def\droite{4.5*\Lrg} % Hauteur du tableau \def\haut{0.5*\HtX} \def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY} % Ligne de l'abscisse : x \node at (-1*\Lrg,0) {$x$}; \node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$}; \node at (2*\Lrg,0) {$0$}; \node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$}; % Ligne de la dérivée : f'(x) \node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f_1'(x)$}; \node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$$}; \node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$-$}; \node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$}; \node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$+$}; \node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$$}; % Ligne de la fonction : f(x) \node at (-1*\Lrg,{-2*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f_1$}; \node (f1) at (0*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$}; \node (f2) at (2*\Lrg,{-2*\HtX+(-2)*\HtY}) {$1$}; \node (f3) at (4*\Lrg,{-2*\HtX+(0)*\HtY}) {$+\infty$}; % Flèches \draw[fleche] (f1) -- (f2); \draw[fleche] (f2) -- (f3); % Encadrement \draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas); \draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle (\droite,\bas); \draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex); \draw[cadre] (\gauche,\lignef) -- (\droite,\lignef); \end{tikzpicture} \end{center} %%:-+-+-+-+- Fin Justifions maintenant les deux limites :\\ On a $\lim\limits_{x \to +\infty}x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\mathrm{e}^{-x} = \lim\limits_{y \to -\infty}\mathrm{e}^y = 0$, et donc par somme : \\ $\lim\limits_{+\infty}f_1 = +\infty$.\\ Pour tout $x$ on a : $f_1(x) = \mathrm{e}^{-x} \times \left(x \mathrm{e}^x + 1\right)$. Et on a : $\lim\limits_{x \to -\infty} x \mathrm{e}^x = 0$, d'après la propriété des croissances comparées. On en déduit, par somme : $\lim\limits_{x \to -\infty} x \mathrm{e}^x + 1 = 1$.\\ Comme par ailleurs on a : $\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{-x} = \lim\limits_{y \to +\infty}\mathrm{e}^y = +\infty$, on en déduit, par produit : $\lim\limits_{-\infty} f_1 = +\infty$. \end{enumerate} \smallskip \textcolor{red}{ \textbf{Partie B}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit un entier naturel $n$ non nul, et un réel $x$, choisi dans l'intervalle $[0~;~1]$.\\ $x$ étant dans l'intervalle $[0~;~1]$, $x$ est positif. La fonction exponentielle étant à valeurs strictement positives, on en déduit que $\mathrm{e}^{-nx}$ est également un nombre positif. La somme de deux nombres positifs étant elle-même positive, on en déduit que $f_n(x)$ est positif. \\ On a donc prouvé que pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est à valeurs positives sur l'intervalle $[0~;~1]$.\\ $I_n$ est donc l'intégrale sur un intervalle d'une fonction positive sur cet intervalle, c'est donc l'aire (exprimée en unité d'aire) de la portion de plan délimitée par : l'axe des abscisses; la courbe $\mathcal{C}_n$, représentative de $f_n$, et les droites verticales d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) et $x = 1$. \item Sur l'intervalle $[0 ~;~1]$, il semble que, plus $n$ augmente, plus les courbes $\mathcal{C}_n$ semblent se rapprocher du segment d'équation $y = x$, chaque courbe semblant être en dessous de la courbe d'indice précédent.\\ On en déduit que les aires successives sous ces courbes doivent être de plus en plus petites, et donc que la suite $\left(I_n\right)$ doit être décroissante.\\ Comme de plus il semble que les courbes "s'écrasent" sur le segment d'équation $y = x$, à la limite, l'aire sous la courbe devrait tendre vers l'aire sous le segment, c'est à dire $\dfrac12$.\\ On peut donc émettre la conjecture que la suite converge vers $\dfrac12$ en décroissant. \end{enumerate} \item On a : \begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l} $I_{n+1}-I_n$ & $\displaystyle{\int_0^1{f_{n+1}(x)~\text{d} x} - \int_0^1{f_{n}(x)~\text{d} x}}$\\ & $\displaystyle{\int_0^1{\left(f_{n+1}(x) - f_n(x) \right)~\text{d} x}}$, par linéarité de l'intégrale.\\ & $\displaystyle{\int_0^1{\left(x + \mathrm{e}^{-(n+1)x} - \left(x + \mathrm{e}^{-nx} \right) \right)~\text{d} x}}$\\ & $\displaystyle{\int_0^1{\left(x + \mathrm{e}^{-(n+1)x} - x - \mathrm{e}^{-nx} \right)~\text{d} x}}$\\ & $\displaystyle{\int_0^1{\mathrm{e}^{-(n+1)x} \left(1 - \mathrm{e}^{x} \right)~\text{d} x}}$\\ \end{tabular}\\ Ce que l'on souhaitait démontrer.\\ On va maintenant en déduire le signe de cette différence. Pour tout entier $n$ naturel non nul et pour tout $x$ dans l'intervalle $[0~;~1]$, le nombre $\mathrm{e}^{-(n+1)x}$ est strictement positif, car la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, quant au nombre $1 - \mathrm{e}^x$, il est négatif, car $x$ étant dans l'intervalle $[0~;~1]$, on a $x \geqslant 0$, et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur \textbf{R}, donc on en déduit que $\mathrm{e}^x \geqslant \mathrm{e}^0$, soit $\mathrm{e}^x \geqslant 1$, donc il suit que $ 1 - \mathrm{e}^x \leqslant 0$.\\ Le produit de deux nombres de signes contraires étant négatif, on vient de prouver que, pour tout entier $n$ naturel non nul et pour tout $x$ dans l'intervalle $[0~;~1]$, le nombre $\mathrm{e}^{-(n+1)x} \left(1 - \mathrm{e}^x \right)$ est négatif. L'intégrale entre deux bornes bien rangées d'une fonction négative étant négative, on en déduit que, pour tout entier $n$ non nul, la différence $I_{n+1} - I_n $ est négative. On en déduit que la suite $(I_n)$ est décroissante.\\ Comme par ailleurs, on a déjà prouvé que, pour tout $n$ naturel non nul, la fonction $f_n$ est à valeurs positives sur l'intervalle d'intégration $[0~;~1]$, on en déduit que l'intégrale de cette fonction positive entre des bornes (0 et 1) bien rangées est positive, donc cela signifie que pour tout $n$ naturel non nul, $I_n$ est positif. On a donc prouvé que la suite est minorée par 0.\\ $(I_n)$ étant une suite minorée et décroissante, on peut en conclure qu'elle est convergente vers une limite $\ell \geqslant 0$, car la suite est minorée par $0$. \item Nous allons maintenant déterminer cette limite $\ell$. Pour tout entier $n$ naturel non nul, une primitive de $f_n$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ est définie par :\\ $F_n(x) = \dfrac12 x^2 + \dfrac{-1}{n} \mathrm{e}^{-nx} = \dfrac12 x^2 - \dfrac{1}{n} \mathrm{e}^{-nx}$. On a donc : \\ $I_n = \displaystyle{\int_0^1{f_n(x) \text{d}x}} = \left[\dfrac12 x^2 - \dfrac{1}{n} \mathrm{e}^{-nx}\right]_0^1 = F_n(1) - F_n(0) $\\ $I_n = \dfrac12 \times 1^2 - \dfrac1n \mathrm{e}^{-n} - \left( \dfrac12 \times 0^2- \dfrac1n \mathrm{e}^0 \right) = \dfrac12 + \dfrac1n \times \left( 1 - \mathrm{e}^{-n} \right)$.\\ Comme on a : $\lim\limits_{n \to +\infty}\mathrm{e}^{-n} = 0$, on en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty}1 - \mathrm{e}^{-n} = 1$ et comme $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac1n = 0$, par produit, puis par somme de limites, on en déduit :\\ $\lim\limits_{n \to +\infty}I_{n} = \dfrac12$.\\ Finalement, nos deux conjectures sont bien vérifiées : la suite est bien décroissante, et converge vers une limite qui est bien $\dfrac12$, l'aire sous la droite d'équation $y=x$ entre les abscisses 0 et 1. \end{enumerate} \label{fin} \end{document}