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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices de démonstration par récurrence}}\end{center}

\subsection{}
Ecrire les propositions suivantes au rang $n + 1$

\begin{enumerate}[1)]
\item $u_n = 14 + n$ donne $u_{n+1}=14+(n+1)=\boxed{\textcolor{red}{15+n}}$

\item $1<u_n<7$ donne $\boxed{\textcolor{red}{1<u_{n+1}<7}}$

\item $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ au rang $n$. (À gauche, on a une somme de $n$ termes)\\
Au rang $n+1$, on doit avoir une somme de $n+1$ termes :\\
Donc $1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$\\
donc : $\boxed{\textcolor{red}{1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}}$

\item $10^n-1$ est un multiple de 9 donne $10^{n+1}-1$  est un multiple de 9.

\end{enumerate}

\subsection{}
Montrer que la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 4u_n - 3$ est constante égale à 1.\\
Effectuons démonstration par récurrence :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_0=1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité }}:\\
On suppose la propriété vraie au rang $n$ donc $u_n=1$.\\
Alors : $u_{n+1}4u_n-3+4\times 1-3=1$ donc $u_{n+1}=1$.\\
Pour tout $n$, $u_n=1\Rightarrow u_{n+1}=1$.\\
L'hérédité est vérifiée.


\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : d'après l'action de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$. La suite est constante, égale à 1.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\begin{cases}u_0=1\\u_ {n+1}=2u_n-5\end{cases}$.
\bigskip

Montrons, par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=5-4\times 2^n$. Notons $P_n$ cette propriété.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : au rang $n=0$, $5-4\times 2^n=5-4\times 2^0=5-4\times 1=5-4=1=u_0$ donc :\\
$\boxed{\textcolor{red}{u_0=5-4\times 2^0}}$ ; $p_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} :\\
On suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n=5-4\times 2^n$ (hypothèse de récurrence).\\
Alors, au rang $n+1$ : $u_{n+1}=2u_n-5$ (par définition de la suite)\\
$=2\left(5-4\times 2^n\right)-5$ (d'après l'hypoth!-èse de récurrence)\\
$=10-2\times \left(4\times 2^n\right)-5=10-4\times 2\times 2^n-5=\boxed{\textcolor{red}{5_4\times 2^{n+1}}}$ ce qu'il fallait démontrer.\\
On a montré que si $p_n$ est vraie, alors $p_{n+1}$ est vraie.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=5-'\times 2^n}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Extrait du sujet de bac Polynésie juin 2012}}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =0$ et pour tout $n\geqslant 0$, $u_{n+1} =3u_n-2n+3$.\\
Démontrons par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant  n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation} :} $u_0=0\geqslant  0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\geqslant  n$.\\
Alors $u_{n+1}=3u_n-2n+3\geqslant  3n-2n+3\geqslant  n+3\geqslant n+1$ donc la propriété est vraie au rang $n+1$ ; elle est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant n$}}.

\subsection{}
Montrer par récurrence que pour $n > 9$, $2^n > 100n$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : attention, on commence à $n=10$.\\
$2^{10}=\numprint{1024}$ et $100n=\numprint{1000}$ donc la propriété est vraie pour $n=9$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : \\
On suppose la propriété vraie pour une valeur quelconque de $n$ avec $n>9$.\\
Donc $2^n>100n$.\\
Alors : $2^{n+1}=2\times 2^n$ donc $2^{n+1}>2\times 100n=100n+100n>100n+100=100(n+1)$ car $n>10$ donc $100n>100$.\\
On a montré que $\boxed{\textcolor{red}{2^{n+1}>100(n+1)}}$
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  