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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les limites de fonctions}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ des fonctions définies par les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\dfrac{x^2+2}{1-x}$.\\
On a une forme indéterminée pour le calcul de la limite à l'infini.\\
$f(x)=\dfrac{\cancel{x^2}\left[1+\frac2{x^2}\right]}{\cancel{x}\left(\frac1x-1\right)}=x\times \dfrac{1+\frac2{x^2}}{\frac1x-1}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\dfrac{2}{x^2}\right)=1$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)=-1$.\\
Par produit et quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}}$.

\item De même : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}}$ car la limite est celle de $-x$. (Voir calculs précédents)

\end{enumerate}
\item $g(x)=\dfrac{x+3}{-2x^2+1}$.\\
On a une forme indéterminée.\\
$\dfrac{x+3}{-2x^2+1}=\dfrac{x\left(1+\frac3x\right)}{x^2\left(-2+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1+\frac3x}{-2+\frac1{x^2}}$.\\
On a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\dfrac{3}x{}\right)=1$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(-2+\dfrac{1}x^2{}\right)=-2$.

\item par produit et quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=0}}$
\end{enumerate}
Pour la limite en $+\infty$, on a la même réponse : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0}}$\\
On en déduit que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$
\end{enumerate}




\subsection{}
%Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item Calcul de :$\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}\dfrac{x}{3x-6}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}x=2$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}(3x-6)=0$ avec $3x-6>0$

\item Par quotient, on en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}\left(\dfrac{x}{3x-6}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\dfrac{x}{3x-6}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}=2$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}(3x-6)=0$ avec $3x-6<0$

\item Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\left(\dfrac{x}{3x-6}\right)=-\infty}}$ (quotient de 2, positif, par un nombre négatif)
\end{enumerate}

\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}\dfrac{x^2}{4-x}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}x^2=16$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}(4-x)=0$ avec $4-x<0$

\item Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}\left(\dfrac{x^2}{4-x}\right)=-\infty}}$
\end{enumerate}


\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}\dfrac{x^2}{4-x}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}=16$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}(4-x)=0$ avec $4-x>0$

\item donc : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}\left(\dfrac{x^2}{4-x}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)$ :



\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}4=4$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{1}{x}=-\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(\dfrac{2}{x^2}\right)=+\infty$

\item Par somme et différence, on trouve : \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)=-\infty}}$
\end{enumerate}



\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}4=4$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(\dfrac{2}{x^2}\right)=+\infty$

\item Par somme et différence, on obtient une forme indéterminée !

\item On lève l'indétermination :\\
On remarque que $4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}=4+\dfrac{x-2}{x^2}$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}4=4$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}(x-2)=-2$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}x^2=0$ avec $x^2>0$.\\
On en déduit : $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)=-\infty$\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(4+\dfrac{x-2}{x^2}\right)=-\infty}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
On définit la fonction $f$ par $f(x)=\dfrac{3x+1}{5-x}$..\\
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$f dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Donner l’ensemble de définition de $f$.
$f$ est définie sur $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{5\right\}}}$.

\item %Étudier les limites de $f$ aux bornes de l’ensemble de définition de $f$.\\
%Donner l’équation des asymptotes horizontales et verticales éventuelles.
On a une forme indéterminée.\\
$\forall x\in\mathscr{D}$, $f(x)=\dfrac{\cancel{x}\left(3+\frac1x\right)}{\cancel{x}\left(\frac5x-1\right)}=\dfrac{3+\frac1x}{\frac5x-1}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(3+\dfrac{5}{x}\right)=3$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\dfrac{5}{x}-1\right)=-1$.\\
Par quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=-3}}$.\\
La droite d'équation. $y=-3$ est aysmptote à $\mathscr{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

\item %Déterminer la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ avec la droite d’équation $y= -3$.
$\forall x\in\mathscr{D}$, $f(x)-3=\dfrac{3x+1}{5-x}-(-3)=\dfrac{3x+1+3(5-x)}{5-x}\\
=\dfrac{3x+1+15-3x}{5-x}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{5-x}}}$.\\
Comme 16 est positif, $\dfrac{16}{5-x}$ est du signe de $5-x$ sur $\mathscr{D}$.\\
$5-x<0\iff x>5$ et $5-x>0\iff x<5$.\\
$\mathscr{C}$ est au dessus de la droite d'équation $y=-3$ sur $]-\infty~;~5[$ et en dessous sur $]5~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-12,-14)(20,10)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-12,-14)(20,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-12,-14)(20,10)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-12}{3.7}{(3*x+1)/(5-x)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{6.46}{20}{(3*x+1)/(5-x)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](5,-14)(5,10)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-12,-3)(20,-3)
\uput[d](13,-5){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}



\subsection{}
On définit la fonction $f$ par $f(x)=\dfrac{2x^2-3x-1}{x-1}$.\\
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ d’unité 1 \si{\centi\metre}.

\begin{enumerate}[1)]
\item %
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}}}$

\item %Etudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition de $f$.\\
%Donner l’équation des asymptotes horizontales et verticales éventuelles.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Limite en $-\infty$ et $+\infty$ :\\
On a une forme indéterminée.\\
$f(x)=\dfrac{x^2\left(2-\frac3x-\frac1{x^2}\right)}{x\left(1-\frac 1x\right)}=x\times \dfrac{2-\frac3x-\frac1{x^2}}{1-\frac 1x}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(2-\dfrac3x-\dfrac1{x^2}\right)=2$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(-\dfrac{1}{x}\right)=1$ donc $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\dfrac{2-\frac3x-\frac1{x^2}}{1-\frac 1x}=2$.\\
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.

\item Limite en 1 :\\
$\lim_{x\rightarrow 1}\left(2x=2-3x-1\right)=-2$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1 }}(x-1)=0$ avec $x-1<0$, donc, par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1 }}f(x)=+\infty}}$\\

$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1 }}(x-1)=0$ avec $x-1>0$, donc, par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1 }}f(x)=-\infty}}$\\
$\mathscr{C}$ admet comme asymptote la droite d'équation $x=1$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}[a)]

\item %Montrer que, pour tout $x\in\mathscr{D}$, \[f(x)=2x-1-\dfrac{2}{x-1}.\]
$\forall x\in\mathscr{D}$, $2x-2-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{(2x-1)(x-1)-2}{x-1}=\dfrac{2x^2-2x-x+1-2}{x-1}=\dfrac{2x^2-3x-1}{x-1}=f(x)$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{f(x)=2x-1-\dfrac{2}{x-1}}}$

\item %En déduire les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $d$ définie par : $d(x)=f(x)-(2x-1)$.\\
%\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on peut alors en déduire que la droite $\Delta$ d’équation $y= 2 - 1$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
Alors : $d(x)=f(x)-\left(2x-1\right)=\dfrac{2}{x-1}$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}d(x)=0}}$.

\item %Etudier la position de la droite $\Delta$ par rapport à la courbe $\mathscr{C}$.
Pour étudier la position de la droite $\Delta$ par rapport à la courbe $\mathscr{C}$, on étudie le signe de $f(x)-(2x-1)$, donc le signe de $d(x).$.\\
$d(x)=-\dfrac{2}{x-1}$ qui a le signe opposé de celui de $x-1$.\\
$d(x)<0\iff x>1$ et $d(x)>0\iff x<1$.\\
$\mathscr{C}$ est au-dessus de $\Delta$ pour $x<1$ et en dessous pour $x>1$.

\end{enumerate}

\item %Etudier les variations de $f$ sur son ensemble de définition $\mathscr{D}$ et dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.
$f(x)=2x-1-2\times \dfrac{1}{x-1}$ donc $f'(x)=2-2\times \left(-\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)=2+\dfrac{2}{(x-1)^2}>0$ sur $\mathscr{D}$.\\
On en déduit que $f$ est croissante sur $]-\infty~;~1[$ et sur $]1~;~+\infty[$.

\item %Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en 2.
Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en 2 est :\\
$y=f'(2)(x-2)+f(2)\iff y=4(x-2)+1\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{y=4x-7}}$

\item %Tracer les asymptotes, la tangente en 2 et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
\phantom{N}
\begin{center}
\psset{unit=.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-9)(5,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-9)(5,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-9)(5,9)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3.7}{.7}{(2*x^2-3*x-1)/(x-1)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{4.8}{1.2}{(2*x^2-3*x-1)/(x-1)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](1,-8)(1,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=green]{1.25}{2.25}{4*x-7}
\uput[r](3,4){$\mathscr{C}$}

\end{pspicture}

\end{center}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  