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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur la convexité}}\end{center}


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x + 1) \mathrm{e}^{2x+1} -1$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les variations de $f$ sur R puis dresser son tableau de variation.
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; $f=u\mathrm{e}^{v}-1$ avec $\begin{cases}u(x)=3x+1\\v(x)=2x+1\end{cases}$.\\
$f'=u'\mathrm{e}^{x}+u\left(\mathrm{e}^{v}\right)'=u'\mathrm{e}^{v}+uv'\mathrm{e}^{v}$ avec $u'(x)=3$ et $v'(x)=2$.\\
Alors : $f'(x)=3\mathrm{e}^{2x+1}+2(3x+1)\mathrm{e}^{2x+1}=\left(3+2(3x+1)\right)\mathrm{e}^{2x+1}=\boxed{\textcolor{red}{(6x+5)\mathrm{e}^{2x+1}}}$

\item %Démontrer que, sur l’intervalle $\left[-\dfrac{5}{6}~;~1\right]$, l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à 0, 01 près.
$f'(x)=0$ pour $x=-\dfrac{5}{6}$ et est du signe de $6x+5$, donc $f'(x)\geqslant 0$ sur $\left[-\dfrac{5}{6}~;~1\right]$.
On en déduit le tableau de variation sur $\left[-\dfrac{5}{6}~;~1\right]$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-\dfrac{5}{6}&&1\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\approx -1,77&\c&\h{\approx 79}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
$f(x)$ passe d'une valeur négative à une valeur positive, en étant croissante, donc il existe une unique valeur $\alpha$ dans l'intervalle  $\left[-\dfrac{5}{6}~;~1\right]$ telle que $f(\alpha )=0$.\\
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx -0,16}}$.

\item %En déduire le signe de $f$ sur $\left[-\dfrac{5}{6}~;~+\infty\right[$.
On en déduit le signe de $f(x)$ sur $\left[-\dfrac{5}{6}~;~1\right]$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-\dfrac{5}{6}&&\alpha&&1\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

%\item %Déterminer la dérivée seconde $f''$ de $f$ sur $\mathbb{R}$, et en déduire la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.\\
%La courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ admet-elle des points d’inflexion ?\\
%Si oui, donner les coordonnées du (ou des) point(s) d’inflexion de $\mathscr{C}_f$ .
$f''(x)=6\mathrm{e}^{2x+1}+2(6x+5)\mathrm{e}^{x+1}=(12x+16)\mathrm{e}^{2x+1}=\boxed{\textcolor{red}{4(3x+4)\mathrm{e}^{2x+1}}}$.\\
$f''(x)$ s'annule en $-\dfrac{4}{3}$ et change de signe en $-\dfrac{4}{3}$.\\
$f''(x)\leqslant 0$ pour $x\leqslant -\dfrac{4}{3}$ et $f''(x)\geqslant 0$ pour $x\geqslant -\dfrac{4}{3}$.\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\hline
f''(x)&&-&\z&+&\\
\hline
f&&\text{concave}&&\text{convexe}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
$\mathscr{C}_f$ a un point d'inflexion de $-\dfrac{4}{3}$ ; ses coordonnées sont $\left(-\dfrac{4}{3}~;~-3\mathrm{e}^{-\frac53}-1\right)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Métropole septembre 2014}}

On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, dans un repère orthonormé. 

Les points suivants appartiennent à la courbe : A$(-2~;~0)$ ; B$(0~;~-6)$ et C(3~;~0). 

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4,-8.5)(9.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=6]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-7.5)(9.5,5.5)
\uput[ur](-2,0){A}\uput[dr](0,-6){B}\uput[ul](3,0){C}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.2}{9.5}{x dup mul x sub 6 sub  2.71828 x 0.5 mul exp div}
\rput(2.7,-7.6){Courbe représentative de la fonction $f''$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
%\emph{Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d'arguments graphiques.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% La courbe représentative de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? 
La courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion si cette courbe traverse sa tangente, autrement dit si la dérivée seconde de $f$ s'annule et change de signe.

D'après sa courbe représentative, la fonction $f''$ s'annule et change de signe en $x=-2$ et $x=3$; donc la courbe représentant la fonction $f$ admet deux points d'inflexion, aux points d'abscisses $-2$ et $3$. 

\item Sur l'intervalle $[ - 2~;~3]$, la courbe représentant la fonction $f''$ est située en dessous de l'axe des abscisses, donc $f''\leqslant  0$. Cela veut dire que, sur cet intervalle, la fonction dérivée première $f'$ est décroissante, et donc que la fonction $f$ est concave.  

\item% Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction $f$ : laquelle ? Justifier la réponse.

On donne les deux courbes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Courbe 1& Courbe 2 \\ \hline
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 20 x mul add 32 add 2.71828 0.5 0.5 x mul sub exp mul}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 28 x mul add 56 add 0.606531 x exp mul}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

La courbe 1 représente une fonction qui admet  en $x=-2$ un minimum ; au point d'abscisse $- 2$, la courbe ne traverse pas sa tangente, donc le point d'abscisse $- 2$ n'est pas un point d'inflexion. Donc la courbe 1 ne représente pas la fonction $f$.

La fonction $f$ est représentée par la courbe 2. 


\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  