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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur la convexité}}\end{center}



\subsection{}
Pour tout réel $x$, on pose $f(x)=3x^3+3x^2-4x+1$.


\begin{enumerate}[1)]
\item %Pour tout réel $x$, déterminer $f''(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=9x^2+6x-4}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f''(x)=18x+6=6(3x+1)}}$
\end{enumerate}

\item %En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe.
$f$ est convexe si, et seulement si, $f''$ est positive.\\
Il est clair que $f''$ est positive sur $\left[-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right]$ et négative sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right]$.\\
$f$ est convexe sur $\left[-\dfrac{1}{3}~;~+\infty\right]$ et concave sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{3}\right]$.

\item %La courbe représentative de la fonction $f$ possède-t-elle un point d’inflexion ? Si oui, en quelle abscisse ?
$f''$ s'annule et change de signe pour $x=-\dfrac{1}{3}$ donc le point d'abscisse $-\dfrac{1}{3}$ est un point d'inflexion.\\
Graphiquement, cela signifie que la courbe traversa sa tangente en $-\dfrac{1}{3}$.\\
Voir courbe ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-4)(2,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-4)(2,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-4)(2,9)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{1.3}{3*x^3+3*x^2-4*x+1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1.5}{1}{-5*x+.89}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-0.33,2.56)
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}%https://www.mathoutils.fr/cours-et-exercices/terminale-generale/convexite-exercices-corriges/
On considère la fonction $f:x\mapsto\sqrt{x}$, définie sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Pour tout réel $x>0$, déterminer une expression de $f'(x)$ et de $f''(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

\item $f=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=\sqrt{x}$.\\
Alors : $f''=\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)$ avec $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.\\
Donc $f''(x)=\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}\right)^2}\right)=-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{x\sqrt{x}}$.
\end{enumerate}

\item %$f$ est-elle convexe ou concave sur $]0~;~+\infty[$ ?
Pour tout  $x>0$, $f''(x)<0$ donc $f$ est concave.

\item %Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1.
L'équation réduite de la tangente au point d’abscisse 1 est :\\
$y=f'(1)(x-1)+f(1)\iff y=\dfrac{1}{2}(x-1)+1\iff y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$.

\item %En déduire que pour tout réel $x>0$, $\sqrt{x}\leqslant \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$.\\
$f$ est concave, donc $\mathscr{C}_f$ est en dessous de toutes ses tangentes, en particulier la tangente en 1.\\
On en déduit que, pour tout $x\geqslant 0$, $f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\iff \boxed{\textcolor{red}{\sqrt{x}\leqslant \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}}}$.
%Représenter graphiquement cette inégalité.\\

Illustration graphique :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(9,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(9,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{9}{sqrt(x)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1}{5}{(x+1)/2}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f:x\mapsto (1+x)^n$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %La fonction $f$ est-elle convexe ou concave sur $[0~;~+\infty[$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$ sur $\left[0~;~+\infty\right[$

\item $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}$
\end{enumerate}
$f''(x)\geqslant 0$ sur $\left[0~;~+\infty\right]$ donc $f$ est convexe sur cet intervalle.

\item %En utilisant la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse 1, montrer que pour tout réel $x\geqslant 0$, $(1+x)^n\geqslant 1+nx$.
La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation réduite : \\
$y=f'(0)(x-0)+f(0)\iff y=nx+1$

\item %Quelle inégalité a-t-on redémontré ?
Comme $f$ est convexe, Issa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier la tangente en 0.\\
On en déduit que, pour tout $x\geqslant 0$, $f(x)\geqslant nx+1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{(1+x)^n\geqslant 1+nx}}$.\\
On retrouve l'inégalité de Bernoulli.

\end{enumerate}

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  