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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : correction du DM \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite homographique}}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=2$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}.$

\begin{enumerate}[1)]
\item  %Calculer $u_1$ et $u_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=\dfrac{3u_0+2}{u_0+4}=\dfrac{3\times 2+2}{2+4}=\dfrac{8}{65}=\dfrac{4}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_1=\dfrac{4}{3}}}$

\item $u_2=\dfrac{3u_1+2}{u_1+4}=\dfrac{3\times \frac43+2}{\frac43+4}=\dfrac{6}{\frac{16}3}=6\times \dfrac{3}{16}=\dfrac{\cancel{2}\times 3\times 3}{\cancel{2}\times 8}=\dfrac{9}{8}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_2=\dfrac{9}{8}}}$
\end{enumerate}

\item %Montrer par récurrence que $u_n\neq 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$
Montrons par récurrence que $u_n\neq 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_0=2\neq 1$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.

\item On suppose que $u_n\neq 1$ pour une valeur quelconque de $n$.\\
$u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}-1=\dfrac{3u_n+2-u_n-4}{u_n+4}=\dfrac{2u_n-2}{u_n+4}\\
=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{u_n+4}\neq 0$ puisque $u_n\neq 1$.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété vraie pour tout $n$, donc $u_n\neq 1$.

\item On pose $v_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-1}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item %Montrer que $\left(v_n\right)$ est géométrique ; on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout $n$, 
\begin{align*}
v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}+2}{u_{n+1}-1}\\
&=\dfrac{\frac{3u_n+2}{u_n+4}+2}{\frac{3u_n+2}{u_n+4}-1}\\
&=\dfrac{\frac{3u_n+2+2\left(u_n+4\right)}{u_n+4}}{\frac{3u_n+2-\left(u_n+4\right)}{u_n+4}}\\
&=\dfrac{5u_n+10}{u_n+4}\times \dfrac{u_n+4}{2u_n-2}\\
&=\dfrac{5\left(u_n+2\right)}{2\left(u_n-1\right)}\\
&=\dfrac{5}{2}\times \dfrac{u_n+2}{u_n-1}\\
&=\dfrac{5}{2}v_n
\end{align*}
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{5}{2}v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{5}{2}}}$.\\
Son premier ere est $v_0=\dfrac{u_0+2}{u_0-1}=\dfrac{2+2}{2-1}=4$.

\item %En déduire $v_n$ en fonction de $n$.
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{v_n=4\times \left(\dfrac{5}{2}\right)^n}}$

\item %En déduire alors $u_n$ en fonction de $n$.
$v_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-1}\iff v_n\left(u_n-1\right)=u_n+2\\
\iff u_nv_n-u_n=v_n+2\iff u_n\left(v_n-1\right)=v_n+2\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{v_n+2}{v_n-1}}}$.\\
On remplace $v_n$ par son expression.\\
On obtient : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{4\times \left(\dfrac{5}{2}\right)^n+2}{4\times \left(\dfrac{5}{2}\right)^n-1}}}$
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsection{}%https://www.math93.com/images/pdf/Term_Specialite/DS/ds-2020-2021/DS2-Tle-Suites-2020_2021.pdf
%Correction : https://www.math93.com/images/pdf/Term_Specialite/DS/ds-2020-2021/DS2-Tle-Suites-2020_2021-corr.pdf
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par : \[\begin{cases}u_0 = 5\\u_{n+1} =\sqrt{2u_n- 1}.\end{cases}.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item %Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}*$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant  u_n\leqslant 3$.
Soit $P_n$ la propriété\og{} $1\leqslant u_{n+1}\leqslant  u_n\leqslant 3$\fg{} pour $n\in\mathbb{N}^*$.\\
Démontrons-la par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation :}} $u_0=5$, $u_1=\sqrt{2u_0-1}=\sqrt{2\times 5-1}\\
=\sqrt{9}=3$ et $u_2=\sqrt{5}$ donc $1\leqslant u_2\leqslant u_1\leqslant 3$.\\
$P_1$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} :
On suppose $P_n$ vraie pour une entier $n$ quelconque non nul, donc $1\leqslant u_{n+1}\leqslant  u_n\leqslant 3$.\\
Alors :\\
 $1\leqslant u_{n+1}\leqslant  u_n\leqslant 3\\
 \Rightarrow 2\leqslant 2u_{n+1}\leqslant 2u_n\leqslant 6\\
 \Rightarrow 2-1\leqslant 2u_{n+1}-1\leqslant 2u_n-1\leqslant 6-1\\
 \Rightarrow 1\leqslant 2u_{n+1}-1\leqslant 2u_n-1\leqslant 5\\
 \Rightarrow \sqrt{1}\leqslant \sqrt{2u_{n+1}-1}\leqslant \sqrt{2u_n-1}\leqslant \sqrt{5}\\
 \text{car la fonction racine carrée est croissante}\\
 \Rightarrow 1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+1}\leqslant \sqrt{5}\leqslant 3$.\\
 $P_n$ est donc \textbf{\textcolor{blue}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété $P_n$ est vraie pour tout $n$.
\item On en déduit que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left(u_n\right)$ est minorée par 1.

\item $\left(u_n\right)$ est décroissante puisque $u_{n+1}\leqslant u_n$
\end{enumerate}
Par conséquent, la suite est \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers une limite $\ell$ avec $\ell\geqslant 1$. (La limite n'est pas demandée !)

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Conformité à un modèle}}%Tale Hatier n° 155 page 179

%Un groupe de spécialistes en environnement étudie le taux de disponibilité des ressources nécessaires pour le développement d'une population de grenouilles autour d'un étang. Ce taux dépend notamment de la quantité de nourriture à disposition et de la qualité de l'environnement.\\
%Une étude, menée en 2020 par ce groupe, a permis d'estimer le taux de disponibilité des ressources à 0,9, ce qui signifie que 90\:\% des ressources étaient disponibles. \\
On modélise le taux de disponibilité des ressources par la suite $\left(T_n\right)$, définie sur $\mathbb{N}$ par $T_0 = 0,9$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $T_{n+1} = T_n-0,1\left(T_n\right)^2$, où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis 2020. 

\begin{enumerate}[1)]
\item %Certains spécialistes estiment qu'en 2025, le taux de disponibilité des ressources sera proche de 0,6.\\
%Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Justifier . 
On peut remarquer que $T_{n+1}=T_n\left(1-0,1T_n\right)$Le taux en 2025 est $T_5$. On a successivement :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $T_1=T_0\left(1-0,1T_0\right)=0,9\left(1-0,1\times 0,9\right)\\
=0,9\times (1-0,09)=0,9\times 0,91=0,819$ : $\boxed{\textcolor{red}{T_1=0 ,819}}$

\item $T_2=T_1\left(1-0,1T_1\right)\approx\numprint{0.751924}$ : $\boxed{\textcolor{red}{T_2\approx\numprint{0.751924}}}$

\item $T_3\approx\numprint{0.695385}$

\item $T_4\approx\numprint{0.647029}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{T_5=0.605164\approx 0,6}}$
\end{enumerate}
L'affirmation est donc conforme au modèle.

\item %Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0~;~1]$ par $f(x)=x-0,1x^2$.
Soit $f(x)=x-0,1x^2$.\\
$f'(x)=1-0,2x$ qui s'annule pour $x=\dfrac{1}{0,2}=\dfrac{10}{2}=5$.\\
Sur $[0~;~1]$, $f'(x)>0$ donc $f$ est croisante.
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{0,9}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant  T_{n + 1}\leqslant T_n\leqslant 1$. 
Montron que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $0\leqslant  T_{n + 1}\leqslant T_n\leqslant 1$.\\
Effectuons une démonstration par récurrence :\\
Notons $P_n$ la propriété : \og{}$0\leqslant  T_{n + 1}\leqslant T_n\leqslant 1$\fg{}.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $T_0=0,9$ et $T_1=0,81<T_0$ donc $P_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $P_n$ vraie pour une valeur quelconque de $n$ donc $0\leqslant  T_{n + 1}\leqslant T_n\leqslant 1$.\\
On remarque que $T_{n+1}=f\left(T_n\right)$.\\
$f$ est croissante donc respecte l'ordre.\\
Alors : $0\leqslant  T_{n + 1}\leqslant T_n\leqslant 1\\
\Rightarrow f(0)\leqslant f\left(0\right)\leqslant f\left(T_n\right)\leqslant f(1)\\
\Rightarrow 0\leqslant T_{n+2}\leqslant T_{n+1}\leqslant 0,9<1$.\\
$P_{n+1}$ est vraie.\\
$\left(P_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété $P_n$ est vraie pour tout $n$.

\item %La suite $\left(T_n\right)$ est-elle convergente? Justifier.
$T_{n+1}\leqslant T_n$ pour tout $n$ donc la suite $\left(T_n\right)$ est décroissante ;de plus, elle est minorée, donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle est convergente, vers une limite $\ell\geqslant 0$.

\item %Le groupe de spécialistes affirme que, selon ce modèle, le taux de disponibilité des ressources va passer à un niveau inférieur à 40\:\% dans les prochaines années, et qu'il est capable de déterminer en quelle année ce seuil sera atteint.\\ 
%Cette affirmation est-elle conforme au modèle? Pourquoi? 
On a : $T_{13}\approx \numprint{0,400844524}>0,4$ et $T_{14}\approx \numprint{0,38477689}$.\\
Le taux de disponibilité des ressources va passer en dessous de 40\:\% et ce, au bout de 14 ans, donc en 2034.

\end{enumerate}

\subsection{}
Étudions les variations sur $]-2~;~1[$ de la fonction $f$ définie par $f (x) =\dfrac{ -5x^2 + 4x - 8}{x^2+x-2}.$\\
Remarquons que -2 et 1 sont les racines du dénominateur donc $f$ est bien définie sur $]-2~;~1[$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=-5x^2+4x-9\\v(x)=x^2+x-2\end{cases}$.\\
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=-10x+4\\v'(x)=2x+1\end{cases}$.\\
Alors :\\
\scriptsize
$f'(x)=\dfrac{(-10x+4)\left(x^2+x-2\right)-(2x+1)\left(-5x^2+4x-8\right)}{\left(x^2+x-2\right)^2}\\
=\dfrac{-10x^3-10x^2+20x+4x^2+4x-8-\left(-10x^3+8x^2-16x-5x^2+4x-8\right)}{\left(x^2+x-2\right)^2}\\
=\dfrac{-10x^3-10x^2+20x+4x^2+4x-8+10x^3-8x^2+16x+5x^2-4x+8}{(x^2+x-2)^2}\\
=\dfrac{-9x^2+36x}{\left(x^2+x-2\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{9x(x-4)}{\left(x^2+x-2\right)^2}}}$\\
\normalsize

$f'(x)$ s'annule en 0 et 4 et est du signe du numérateur $-9x(x-4)$, positif (du signe opposé à celui du coefficient de $x^2$) entre les racines et du signe opposé à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Limites en -2 et en 1 }}:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -2}\left(-5x^2+4x-8\right)=-36$

\item $\lim_{x\rightarrow -2}\left(x^2+x-21\right)=0$ en étant négatif.

\item Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}f(x)=+\infty}}$.

\item $\lim_{x\rightarrow 1}\left(-5x^2+4x-8\right)=-9$

\item $\lim_{x\rightarrow 1}\left(x^2+x-21\right)=0$ en étant négatif.

\item Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>-2}}f(x)=+\infty}}$.

\end{enumerate}
\textcolor{blue}{\textcolor{blue}{Tableau de variation }}
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&&0&&&1&\\
\hline
f'(x)&\bb&&+&\z&-&&\bb\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{-\infty}&\d&4&\c&\h{-\infty}&\bb\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\subsection{}

On considère la fonction $f$ définie par :\\
$f(x)=\dfrac{2x^2 + 6x + 1}{x^2 + 2}.$
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal. 

\begin{enumerate}
\item %Donner l'ensemble de définition de $f$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2+2>0$ donc  l'ensemble de définition de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}}}$

\item %Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x^2+6x+1\\v(x)=x^2+2\end{cases}$.\\
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=4x+6\\v'(x)=2x\end{cases}$.\\
$f'(x)=\dfrac{(4x+6)\left(x^2+2\right)-2x\left(2x^2+6x+1\right)}{\left(x^2+2\right)^2}\\
=\dfrac{4x^3+8x+6x^2+12-4x^3-12x^2-2x}{\left(x^2+2\right)^2}\\
=\dfrac{-6x^2+6x+12}{\left(x^2+2\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-6\left(x^2-x-2\right)}{\left(x^2+2\right)^2}}}$.\\
-1 est une racine évidente de $x^2-x-2$ ; le produit des racines est $\dfrac{-2}{1}=-2$ donc l'autre racine est 2.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{-6(x+1)(x-2)}{\left(x^2+2\right)^2}}}$.\\
$f'(x)=0$ pour $x=-1$ ou $x=2$.\\
$f'(x)$ est du signe de $-6(x+1)(x-2)$.\\
$-6(x+1)(x-2)$ est du signe du coefficient de $x^2$, -6, donc négatif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et positif entre les racines.

\item %Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [-10 ~;~10].
Tableau de variation sur $[-10~;~10]$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-10&&-1&&2&&10\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\dfrac{47}{34}}&\d&-1&\c&\h{\dfrac{7}{2}}&\d&\dfrac{87}{34}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 0.\\
L'équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ en son point d'abscisse 0 est :\\
$y=f'(0)(x-0)+=f(0)\iff y=f'(0)x+f(0)\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{y=3x+\dfrac{1}{2}}}$

%Représenter la courbe $\mathscr{C}$ et sa tangente $T$.
Courbe à la fin du corrigé


\item %Déterminer le nombre de points communs à la courbe $\mathscr{C}$ et à sa tangente $T$.\\ 
%Quelles sont les coordonnées de ce(s) point(s) ? Préciser les positions relatives de $\mathscr{C}$ et $T$. 
Pour tourner le nombre de points d'intersection de $\mathscr{C}$ et de $T$, on résout l'équation $f(x)=3x+\dfrac{1}{3}$.\\
$f(x)=3x+\dfrac{1}{2}\iff \dfrac{2x^2 + 6x + 1}{x^2 + 2}=3x+\dfrac{1}{2}\\
\iff \dfrac{2x^2 + 6x + 1}{x^2 + 2}-\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)=0\\
\iff \dfrac{2x^2 + 6x + 1}{x^2 + 2}-\dfrac{6x+1}{2}=0\\
\iff \dfrac{2\left(2x^2+6x+1\right)-(6x+1)\left(x^2+2\right)}{2\left(x^2+2\right)}=0\\
\iff \dfrac{4x^2+12x+2-6x^3-12x-x^2-2}{2\left(x^2+2\right)}=0\\
\iff \dfrac{-6x^3+3x^2}{\left(x^2+2\right)^2}=0\iff -6x^3+3x^2=0\\
\iff 3x^2(-2x+1)=0$.\\
$\mathscr{S}=\left\{0~;~\dfrac{1}{2}\right\}$.\\
$\mathscr{C}$ et $T$ ont deux points d'intersection, de coordonnées $\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ (point de tangence) et $\left(\dfrac{1}{2}~;~2\right)$.\\
Le signe de $f(x)-\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)$ est celui de $3x^2(-2x+1)$.\\
$3x^2(-2x+1)$ s'annule en $0$ et $\dfrac{1}{2}$.\\
$3x^2\geqslant 0$ et $-2x+1\geqslant 0\iff x\leqslant \dfrac{1}{2}$.
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-10&&0&&\dfrac{1}{2}&&10\\
\hline
f(x)-\left(3x+\dfrac{1}{2}\right)&&+&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
$\mathscr{C}$ est au-dessus de la tangente $T$ pour $x\leqslant \dfrac{1}{2}$ et en dessous pour $x\geqslant \dfrac{1}{2}$ (avec point de tangence en $x=0$)
\end{enumerate}



\subsection{}% D'après bac ES centres étrangers 2019
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip 

Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$. On a placé les points A(0~;~2), B(2~;~0) et C$( -2~;~0)$. 

On dispose des renseignements suivants: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item[$\bullet~~$]La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item[$\bullet~~$]La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-10,-1.5)(2.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=5,subgriddiv=1](-10,-2)(3,4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=3](0,2)(2,0)(-2,0)
\uput[dr](0,2){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[ul](-2,0){C} 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-10,-1.5)(2.5,3.5)
\uput[ur](1.7,2){\blue$\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\psline(-10,2.71828)(2,2.71828)
\psline(-3,-1)(1.5,3.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=y_A=2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=2}}$

\item $f(2)=y_B=0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$
\end{enumerate}

\item %Indiquer la valeur de $f'(1)$. 
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en 1. $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=0}}$ (tangente horizontale)


\item %Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A. 
Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A est :\\
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$.\\
$f'(1)=\dfrac{y_A-y_C}{x_C-x_A}=\dfrac{2}{2}=1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=1}}$
On en déduit : $y=1\times (x-0)+2\iff \boxed{\textcolor{red}{y=x+2}}$.

\item  %Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$. 
L'équation $f(x)=1$ semble avoir deux solutions.

\item  %Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. 
$f$ semble croissante sur $[-10~;~1]$ puis décroissante sur $[1~;~2]$.
\end{enumerate}



\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip 

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A. 

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle 
$[-10~;~2]$ par : $f(x) = (2 - x)\text{e}^x.$


. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$ et $f(2)$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=2\mathrm{e}^{0}=2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=2}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$
\end{enumerate}

	\begin{enumerate}
item %Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[-10~;~2]$. 
$f=uv$ donc $f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u(x)=x-2\\v(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$ et $\begin{cases}u'(x)=-1\\v'(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=-\mathrm{e}^{x}+(2-x)\mathrm{e}^{x}=[-1+2-x]\mathrm{e}^{x}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{x}}}$.

\item %En déduire la valeur de $f'(1)$. 
Alors : $f'(1)=0\times \mathrm{e}^{1}=0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=0}}$
	\end{enumerate}
	
\item  %Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$. 
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ est :\\
$y=f'(0)\times x+f(0)\iff y=1x+2\iff \boxed{\textcolor{red}{y=x+2}}$.

\item  
\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. 
$f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{x}$ est du signe de $1-x$ car $\mathrm{e}^{x}>0$.\\
$f'(x)\geqslant 0$ pour $x\leqslant 1$ et $f'(x)\leqslant 0$ pour $x\geqslant 1$.\\

\columnbreak
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-10&&1&&2\\
\hline
f'(x)&12\mathrm{e}^{-10}\approx0,0005&\c&\h{\mathrm{e}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
Sur $[-10~;~1]$, $f(x)$ pass d'environ 0;0005 à \\
$\mathrm{e}\approx 2,7$ donc passe par 1 ; sur $[1~;~2]$, $f(x)$ passe de $\mathrm{e}$ à 0 donc passe par 1.\\
L'équation $f(x)=1$ a donc deux solutions.\\
À la calculatrice, on trouve que les deux solutions sont $\boxed{\textcolor{red}{x_1\approx -1,15}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{x_2\approx 1,84}}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque }}: nous verrons cette démarche plus en détail dans un prochain chapitre.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Courbe de l'exercice V}}
\psset{unit=.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-11,-2)(11,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-11,-2)(11,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-11,-2)(11,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-10}{10}{(2*x^2 + 6*x + 1)/(x^2 + 2)}
%\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue,arrows=>]{0}{2}{(2*x^2 + 6*x + 1)/(x^2 + 2)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-.75}{.75}{3*x+.5}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,.5)(.5,2)
\uput[u](5,3){$\mathscr{C}$}
\uput[r](0,.5){$T$}
\end{pspicture}

\end{center}
\label{fin}
\end{document}  