<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© : contrÃ´le sur la dÃ©rivation}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit $f$ une fonction dÃ©finie et dÃ©rivable sur  $\mathbb{R}$. On note $f'$ la dÃ©rivÃ©e de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ reprÃ©sentative de la fonction $f$.
 
La tangente Ã&nbsp;  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnÃ©es $\left( 3 ; -3 \right)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36))}
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0](-7,-4)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{-&gt;}(0,0)(-7,-4)(8,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=2pt, linecolor=prune]{&lt;-&gt;}(-1.2,3.3)(3,-3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=prune]{&lt;-&gt;}(-2.8,3)(-1.2,3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=prune]{&lt;-&gt;}(2.82,-2.3)(4.42,-2.3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3)
\uput[ur](-7,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}}
\uput[ur](1,0){\bleu{$B$}}
\uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}}
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Ã€ partir du graphique et des donnÃ©es de l'Ã©noncÃ© :
\begin{enumerate}
	\item DÃ©terminer le nombre de solutions de l'Ã©quation $f'(x)=0$.
	\item DÃ©terminer $f'(1)$.

\end{enumerate}
\item La tangente Ã&nbsp;  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour Ã©quation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$. 

En dÃ©duire les valeurs de $f(5)$ et $f'(5)$.
\item La proposition  \og $f'(0)&gt; 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? \textbf{Justifier} !
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la reprÃ©sentation graphique de la fonction $f'$ . DÃ©terminer laquelle, \textbf{en justifiant votre choix}.
	
	\medskip
	
	\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(51*x^2+79*x-1362)/2464}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{-&gt;}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{6.332}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(400*x-1449)/1049}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{-&gt;}(0,0)(-4,-4)(6,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.477}{5.1}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(5*x^3-20*x^2+745*x-2674)/(3*(x^2-x+36)^2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{-&gt;}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{7}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

Dans chaque cas, calculer l'expression de la dÃ©rivÃ©e de la fonction donnÃ©e.

\begin{enumerate}
\item $u$ est la fonction dÃ©finie pour tout rÃ©el $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $u(x)=  x^2 +4x +\dfrac{2}{x}$

\item $v$ est la fonction dÃ©finie pour tout rÃ©el $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $v(x)= 2 -\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x^2}$
%\item $f$ est la fonction dÃ©finie pour tout rÃ©el $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $f(x)=  u(x) \times v(x)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit la fonction $f$ dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+1$.

\begin{enumerate}[1)]
\item DÃ©terminer la fonction dÃ©rivÃ©e $f'(x)$.

\item DÃ©terminer lâ€™Ã©quation de la tangente en $a=2$ Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$.

\item Pour quelle valeur de $a$ la tangente en $a$ est-elle parallÃ¨le Ã&nbsp; lâ€™axe des abscisses ?

\item Existe-t-il une tangente Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ parallÃ¨le Ã&nbsp; la droite $d$ dâ€™Ã©quation $y=-2x+5$ ?

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
\medskip 

Soit $f$ la fonction dÃ©finie pour tout rÃ©el $x$ par \[f(x)=\frac{8x-3x^2}{x^2-x+1}.\]
 On note $f'$  la dÃ©rivÃ©e de la fonction $f$. 


On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ reprÃ©sentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=.55cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(9,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(8*x-3*x^2)/(x^2-x+1)}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-5)(9,6)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-&gt;}(0,0)(-7,-5)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-7,-5)(9,6)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-7,-5)(9,6)

\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=2pt,linecolor=red]{-7}{9}{\f}
\uput[dr](-7,-3.6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,0)(9,-3)
%\psdot[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](5,-1.6667)
%\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Ã‰tudier le signe de la fonction  $v$ dÃ©finie par $v(x)=x^2-x+1$.
	
	\item Montrer que pour tout rÃ©el $x$, \[f'(x)=\frac{-5x^2-6x+8}{\left(x^2-x+1\right)^2}.\]
	\end{enumerate} 
	
	\item \begin{enumerate}
		\item Ã‰tudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
		\end{enumerate} 
\item DÃ©terminer une Ã©quation de la tangente $T$ Ã&nbsp;  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse 5. 

Tracer sur le graphique donnÃ©, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\medskip

On souhaite tracer une courbe $\mathcal{C}$ pouvant reprÃ©senter une fonction $f$ dÃ©finie et dÃ©rivable sur l'intervalle $[-3 ; 7]$ qui satisfait les conditions suivantes :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-3) = -2$, $f(7) = 5$ et  $f'(7)=2$. 
\item  Le signe de la fonction dÃ©rivÃ©e $f'$ de $f$ est donnÃ© par le tableau suivant :
%\begin{center}
%\psset{unit=.8cm}
%\begin{pspicture}(16,1.8)
%\psset{linewidth=.75pt}
%\psframe(16,1.8) \psline(0,1)(16,1)\psline(3,0)(3,1.8)
%\rput(1.5,1.4){$x$} \rput(3.5,1.4){$-3$} \rput(7.5,1.4){$-1$} \rput(11.5,1.4){$3$} \rput(15.5,1.4){$7$} 
%\rput(1.5,0.5){signe de $f'(x)$}	
%\rput(5.5,0.5){$+$}  \pnode(7.5,0){m1}\pnode(7.5,1){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$-$} \pnode(11.5,0){a1}\pnode(11.5,1){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0}	\rput(13.5,0.5){$+$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}	
\begin{variations}
x&amp;-3&amp;&amp;-1&amp;&amp;3&amp;&amp;7\\
\hline
\text{Signe de }f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item Sur l'intervalle $[-2~;~5]$, la fonction $f$ admet un maximum Ã©gal Ã&nbsp;  4 et un minimum Ã©gal Ã&nbsp;  1.

\item La droite $\mathcal{D}$ d'Ã©quation $y= -x +3$ est tangente Ã&nbsp; la courbe reprÃ©sentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 1. 
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Donner  le tableau de variations de la fonction $f$. On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de $-3$, $-1$, 3 et 7.
\item Donner une Ã©quation de la tangente $T$ Ã&nbsp; la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 7.
\item Dans le repÃ¨re donnÃ©  ci-dessous placer le point $A$ et tracer la droite $\mathcal{D}$ ainsi que  les tangentes Ã&nbsp; la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $-1$, 3 et 7. Tracer une courbe $\mathcal{C}$ pouvant reprÃ©senter la fonction $f$. 
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(8,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x^3-x^2-5*x+13)/4}
\def\g{x^2/4-3*x/2+13/4}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-3)(8,6)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{-&gt;}(0,0)(-4,-3)(8,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-4,-3)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-3)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{1}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt,linecolor=bleu]{1}{7}{\g}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.8,4)(-.2,4)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.2,1)(3.8,1)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.5,3.5)(2.5,.5)
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](5,1)(7,5)
%\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-3,-2)(-1,4)(1,2)(3,1)(7,5)
%\uput[ur](1,2){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit la fonction $f$ dÃ©finie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$ par \[f(x)=x-1+\dfrac{2}{2x-3}.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item DÃ©montrer pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, on a : \[f'(x)=\dfrac{ (2x- 1)(2x- 5)}{(2x- 3)^2}.\]

\item Ã‰tudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathscr{D}$ . (On fera un tableau de signe)

\item En dÃ©duire le tableau de variation de $f$.

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>