\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : corrigé du contrôle sur la dérivation}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\mathbb{R}$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.
 
La tangente à  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnées $\left( 3 ; -3 \right)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36))	}
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0](-7,-4)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-4)(8,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(-1.2,3.3)(3,-3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(-2.8,3)(-1.2,3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(2.82,-2.3)(4.42,-2.3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3)
\uput[ur](-7,-2){\bleu{\textcolor{red}{$\mathcal{C}_f$}}}
\footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}}
\uput[ur](1,0){\bleu{$B$}}
\uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}}
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item %À partir du graphique et des données de l'énoncé :
\begin{enumerate}
	\item %Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f'(x)=0$.
	Les solutions de l'équation $f'(x)=0$ sont les abscisses des points en lesquels la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale, c'est-à-dire parallèle à l'axe des abscisses.\\
	Il y a deux solutions :-2 et environ 3,6.
	
	\item %Déterminer $f'(1)$.
	$f'(1)$ est la le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 1, donc au point $B$.\\
	Elle passe par $B(1~;~0)$ et le point de coordonnées $(3~;~-3)$ ;  alors $f'(1)=\dfrac{-3-0}{3-1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}}$ 

\end{enumerate}
\item La tangente à  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour équation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$. 

%En déduire les valeurs de $f(5)$ et $f'(5)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(5)=\dfrac{7}{8}$ (coefficient directeur de la tangente)

\item Le point $D$ de $\mathscr{C}_f$, d'abscisse 5, appartient aussi à la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 5, donc ses coordonnées vérifient aussi l'équation de la tangente.\\
Par conséquent, $f(5)=\dfrac{7}{8\times 5}-\dfrac{145}{24}=-\dfrac{40}{24}=-\dfrac{5}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=-\dfrac{5}{3}}}$
\end{enumerate}

\item %La proposition  \og $f'(0)> 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? \textbf{Justifier} !
Sur $\left[-2~;~3,5\right]$, $f$ est décroissante et 0 appartient à cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)<0}}$ ; la proposition est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.\\
On peut aussi remarquer que la tangente en B d'abscisse 1 correspond à une fonction affine décroisante donc son coefficient directeur $f'(1)$ est négatif.

	\item  %Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle, \textbf{en justifiant votre choix}.
		\phantom{1cm}
	\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(51*x^2+79*x-1362)/2464}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{6.332}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(400*x-1449)/1049}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.477}{5.1}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x+2)*(5*x^3-20*x^2+745*x-2674)/(3*(x^2-x+36)^2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) 
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{7}{\f}
\rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

Sur $[-7~;~-2]$, $f$ est croisante donc $f'\geqslant 0$ ; sur $[-2~;~3,6]$, $f$ est décroisante donc $f'(x)\leqslant 0$ et sur $[3,6~;~+\infty[$, $f$ est croisante donc $f'\geqslant 0$. Les courbes $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$ vérifient cela.\\
De plus, t$f'(5)=\dfrac{7}{8}$ ; la seule courbe correspondante est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{C}_3}}$.
 



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

%Dans chaque cas, calculer l'expression de la dérivée de la fonction donnée.

\begin{enumerate}
\item $u$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $u(x)=  x^2 +4x +\dfrac{2}{x}=x^2+4+2\times \dfrac{1}{x}$.\\
$u'(x)=2x+4-2\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=2x+4-\dfrac{4}{x^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x^3+4x^2-3}{x^2}}}$

\item $v$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $v(x)= 2 -\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x^2}$\\
$v'(x)=-\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{x^3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-x^3+4}{2x^3}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+1$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$.
$f'(x)=6x-4=\boxed{\textcolor{red}{2(3x-2)}}$

\item %Déterminer l’équation de la tangente en $a=2$ à $\mathscr{C}_f$.
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $a$ est \\
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
Avec $a=2$ : $y=f'(2)(x-2)+f(2)\Leftrightarrow y=8(x-2)+5\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=8x-11}}$

\item %Pour quelle valeur de $a$ la tangente den $a$ est-elle parallèle à l’axe des abscisses ?
La tangente en $a$ est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, $f'(a)=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{a=\dfrac{2}{3}}}$.

\item %Existe-t-il une tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à la droite $d$ d’équation $y=-2x+5$ ?
Le coefficient directeur de $d$ est -2.\\
Deux droites (décantes à l'axe des ordonnées) sont parallèles si, et seulement si, leurs coefficients directeurs sont égaux.\\
On résout l'équation $f'(x)=-2\Leftrightarrow 2(3x-2)=-2\\
\Leftrightarrow 3x-2=-1\Leftrightarrow 3x=1\Leftrightarrow x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.\\
La tangente parallèle à $d$ est la tangente en $\dfrac{1}{3}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
\medskip 

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{8x-3x^2}{x^2-x+1}.$\\
 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=.55cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(9,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(8*x-3*x^2)/(x^2-x+1)}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-5)(9,6)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-5)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-5)(9,6)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-7,-5)(9,6)

\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=2pt,linecolor=red]{-7}{9}{\f}
\uput[dr](-7,-3.6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(-3,1)(9,-3)
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,-1.6667)
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item %Étudier le signe de la fonction  $v$ définie par $v(x)=x^2-x+1$.
	Signe de $v(x)=x^2-x+1$ :\\
	C'est un polynôme du second degré ; \\
	$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1=-3<0$.\\
	$v(x)$ est alors du signe du coefficient de $x^2$, 1, positif sur $\mathbb{R}$. ($f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$)
	
	\item %Montrer que pour tout réel $x$, \[f'(x)=\frac{-5x^2-6x+8}{\left(x^2-x+1\right)^2}.\]
	$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=8x-3x^2\\v(x)=x^2-x+1\end{cases}$.\\
	Alors $f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=8-6x\\v'(x)=2x-1\end{cases}$.\\
	Alors : 
	$f'(x)=\dfrac{(8-6x)\left(x^2-x+1\right)-(2x-1)\left(8x-3x^2\right)}{\left(x^2-x+1\right)^2}\\
	=\dfrac{8x^2-8x+8-6x^3+6x^2-6x-16x^2+6x^3+8x-3x^2}{\left(x^2-x+1\right)^2}\\
	=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-5x^2-6x+8}{\left(x^2-x+1\right)^2}}}$
	\end{enumerate} 
	
	\item \begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$. 
		Le dénominateur de $f'(x)$ est strictement positif donc $f'(x)$ est du signe du numérateur.\\
		Signe de $-5x^2-6x+8$ : \\
$\Delta=(-6)^2-4\times (-5)\times 8=36+160=196=14^2>0$.\\
Il y a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+14}{-10}=-2$ et \\
$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-14}{-10}=\dfrac{4}{5}$.\\
Cette expression du second degré est du signe de -5, négatif, à l'extérieur de l'intérieur formé par les racines.\\
Tableau de signes fait ci-dessous avec le tableau de variation.

\newpage


		\item %Donner le tableau des variations de $f$. 
		\phantom{1cm}
		\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\dfrac{4}{5}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{-3}&\d&-4&\c&\h{\dfrac{16}{3}}&\d&-3\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
(Les limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont données à titre indicatif mais ne sont qu'au programme de Terminale)
		\end{enumerate} 
\item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse 5. 
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 5 est :\\
$y=f'(5)(x-5)+f(5)$\\
Donc $y=-\dfrac{1}{3}\left(x-5\right)-\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{1}{3}x}}$.\\
C'est une fonction linéaire, donc la tangente $T$ passe par l'origine du repère.

%Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$.
La tangente $T$ est tracée sur le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\medskip

On souhaite tracer une courbe $\mathcal{C}$ pouvant représenter une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 7]$ qui satisfait les conditions suivantes :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-3) = -2$, $f(7) = 5$ et  $f'(7)=2$. 
\item  Le signe de la fonction dérivée $f'$ de $f$ est donné par le tableau suivant :


\begin{center}	
\begin{variations}
x&-3&&-1&&3&&7\\
\hline
\text{Signe de }f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item Sur l'intervalle $[-2~;~5]$, la fonction $f$ admet un maximum égal à  4 et un minimum égal à  1.

\item La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y= -x +3$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 1. 
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Donner  le tableau de variations de la fonction $f$. On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de $-3$, $-1$, 3 et 7.



Tableau de variation correspondant aux contraintes ci-dessus :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-3&&-1&&3&&7\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&2\\
\hline
\m{f(x)}&-2&\c&\h{4}&\d&1&\c&\h{5}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 7.
Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 7 est \\
$y=f'(7)(x-7)+f(7)\Leftrightarrow y=2(x-7)+5\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=2x-9}}$

\columnbreak

\item Ci-dessous est représentée une courbe possible.
 \end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(8,5.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x^3-x^2-5*x+13)/4}
\def\g{x^2/4-3*x/2+13/4}
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-3)(8,6)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(8,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-3)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-3)(8,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt,linecolor=bleu]{1}{7}{\g}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(2.2,1)(3.8,1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-.5,3.5)(2.5,.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(5,1)(7,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-3,-2)(-1,4)(1,2)(3,1)(7,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-2,4)(0,4)
\uput[ur](1,2){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$ par \\
$f(x)=x-1+\dfrac{2}{2x-3}.$

\begin{enumerate}[1)]
\item %Démontrer pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, on a : \[f'(x)=\dfrac{ (2x- 1)(2x- 5)}{(2x- 3)^2}.\]
$f(x)=x-1+2\times \dfrac{1}{2x-3}$ donc $f=u+2\times \dfrac{1}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x-1\\v(x)=2x-3\end{cases}$.\\
Alors $f'=u'+2\times \left(\dfrac{1}{v}\right)'=u'+2\times \left(-\dfrac{v'}{v^2}\right)$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=2\end{cases}$.\\
On en déduit : $f'(x)=1+2\times \left(-\dfrac{2}{(2x-3)^2}\right)\\
=1-\dfrac{4}{(2x-3)^2}=\dfrac{(2x-3)^2-4}{(2x-3)^2}\\
=\dfrac{(2x-3^2-2^2)}{(2x-3)^2}=\dfrac{\left[(2x-3+2)\right]\left[(2x-3-2)\right]}{(2x-3)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(2x-1)(2x-5)}{(2x-3)^2}}}$.\\
(On a reconnu une identité remarquable au numérateur (différence de deux carrés))

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathscr{D}$ . (On fera un tableau de signe)
$f'(x)$ est du signe du numérateur puisque $(2x-3)^2>0$ sur $\mathscr{D}$.\\
Signe de $(2x-1)(2x-5)$ :(\textbf{\textcolor{red}{ne pas développer !}})\\
Il y a deux racines évidentes : $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{2}$.\\
$(2x-1)(2x-5)$ est positif (signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.\\
Tableau de signes et de variation ci-dessous (attention, $\dfrac{3}{2}$ est une valeur interdite !!!).
\end{enumerate}
\end{multicols}

%En déduire le tableau de variation de $f$.
\phantom{}\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1}{2}&&&\dfrac{3}{2}&&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{-\dfrac{3}{2}}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&\dfrac{5}{2}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}




\textbf{\textcolor{red}{Courbe (non demandée)}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-7)(6,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-7)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-7)(6,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{1.35}{x-1+2/(2*x-3)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.65}{6}{x-1+2/(2*x-3)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](1.5,-7)(1.5,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-5}{6}{x-1}
\uput[d](5,4){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](3,2){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}

On a tracé en pointillés les deux droites asymptotes à la courbe :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la première, d'équation $x=\dfrac{3}{2}$, correspondant à la valeur interdite (voir cours de Terminale)

\item la seconde, $\Delta$, d'équation $y=x-1$, car $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left[f(x)-(x-1)\right]=0$, donc $\mathscr{C}_f$ se rapproche infiniment près de $\Delta$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ou vers $+\infty$ (hors-programme au lycée)
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  