\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : corrigé du contrôle sur la dérivation}}\end{center} \subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$. La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnées $\left( 3 ; -3 \right)$. \begin{center} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(-7,-4)(8,4) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.5 0 .5} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36)) } %\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()() %\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()() \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0](-7,-4)(8,4) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-4)(8,4) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-7}{8}{\f} \psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(-1.2,3.3)(3,-3) \psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(-2.8,3)(-1.2,3) \psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(2.82,-2.3)(4.42,-2.3) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3) \uput[ur](-7,-2){\bleu{\textcolor{red}{$\mathcal{C}_f$}}} \footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}} \uput[ur](1,0){\bleu{$B$}} \uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}} \uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}} } \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item %À partir du graphique et des données de l'énoncé : \begin{enumerate} \item %Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f'(x)=0$. Les solutions de l'équation $f'(x)=0$ sont les abscisses des points en lesquels la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale, c'est-à-dire parallèle à l'axe des abscisses.\\ Il y a deux solutions :-2 et environ 3,6. \item %Déterminer $f'(1)$. $f'(1)$ est la le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 1, donc au point $B$.\\ Elle passe par $B(1~;~0)$ et le point de coordonnées $(3~;~-3)$ ; alors $f'(1)=\dfrac{-3-0}{3-1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}}}$ \end{enumerate} \item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour équation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$. %En déduire les valeurs de $f(5)$ et $f'(5)$. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $f'(5)=\dfrac{7}{8}$ (coefficient directeur de la tangente) \item Le point $D$ de $\mathscr{C}_f$, d'abscisse 5, appartient aussi à la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 5, donc ses coordonnées vérifient aussi l'équation de la tangente.\\ Par conséquent, $f(5)=\dfrac{7}{8\times 5}-\dfrac{145}{24}=-\dfrac{40}{24}=-\dfrac{5}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=-\dfrac{5}{3}}}$ \end{enumerate} \item %La proposition \og $f'(0)> 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? \textbf{Justifier} ! Sur $\left[-2~;~3,5\right]$, $f$ est décroissante et 0 appartient à cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)<0}}$ ; la proposition est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.\\ On peut aussi remarquer que la tangente en B d'abscisse 1 correspond à une fonction affine décroisante donc son coefficient directeur $f'(1)$ est négatif. \item %Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle, \textbf{en justifiant votre choix}. \phantom{1cm} \psset{unit=0.4cm} \begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \def\pshlabel#1{\tiny #1} \def\psvlabel#1{\tiny #1} \def\f{(x+2)*(51*x^2+79*x-1362)/2464} \psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) \uput[dl](0,0){\scriptsize{0}} \uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{6.332}{\f} \rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}} \end{pspicture} \hfill \psset{unit=0.4cm} \begin{pspicture}(-4,-5)(6,4) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \def\pshlabel#1{\tiny #1} \def\psvlabel#1{\tiny #1} \def\f{(x+2)*(400*x-1449)/1049} \psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,4) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,4) \uput[dl](0,0){\scriptsize{0}} \uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.477}{5.1}{\f} \rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}} \end{pspicture} \hfill \psset{unit=0.4cm} \begin{pspicture}(-8,-5)(7,4) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \def\pshlabel#1{\tiny #1} \def\psvlabel#1{\tiny #1} \def\f{(x+2)*(5*x^3-20*x^2+745*x-2674)/(3*(x^2-x+36)^2)} \psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(7,4) \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-4)(7,4) \uput[dl](0,0){\scriptsize{0}} \uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4){\scriptsize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-8}{7}{\f} \rput(-.5,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}} \end{pspicture} \end{enumerate} Sur $[-7~;~-2]$, $f$ est croisante donc $f'\geqslant 0$ ; sur $[-2~;~3,6]$, $f$ est décroisante donc $f'(x)\leqslant 0$ et sur $[3,6~;~+\infty[$, $f$ est croisante donc $f'\geqslant 0$. Les courbes $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$ vérifient cela.\\ De plus, t$f'(5)=\dfrac{7}{8}$ ; la seule courbe correspondante est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{C}_3}}$. \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}} %Dans chaque cas, calculer l'expression de la dérivée de la fonction donnée. \begin{enumerate} \item $u$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $u(x)= x^2 +4x +\dfrac{2}{x}=x^2+4+2\times \dfrac{1}{x}$.\\ $u'(x)=2x+4-2\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=2x+4-\dfrac{4}{x^2}\\ =\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2x^3+4x^2-3}{x^2}}}$ \item $v$ est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0 ; +\infty[$ par $v(x)= 2 -\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{x^2}$\\ $v'(x)=-\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{x^3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-x^3+4}{2x^3}}}$ \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}} Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3x^2-4x+1$. \begin{enumerate}[1)] \item %Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$. $f'(x)=6x-4=\boxed{\textcolor{red}{2(3x-2)}}$ \item %Déterminer l’équation de la tangente en $a=2$ à $\mathscr{C}_f$. L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $a$ est \\ $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\ Avec $a=2$ : $y=f'(2)(x-2)+f(2)\Leftrightarrow y=8(x-2)+5\\ \Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=8x-11}}$ \item %Pour quelle valeur de $a$ la tangente den $a$ est-elle parallèle à l’axe des abscisses ? La tangente en $a$ est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, $f'(a)=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{a=\dfrac{2}{3}}}$. \item %Existe-t-il une tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à la droite $d$ d’équation $y=-2x+5$ ? Le coefficient directeur de $d$ est -2.\\ Deux droites (décantes à l'axe des ordonnées) sont parallèles si, et seulement si, leurs coefficients directeurs sont égaux.\\ On résout l'équation $f'(x)=-2\Leftrightarrow 2(3x-2)=-2\\ \Leftrightarrow 3x-2=-1\Leftrightarrow 3x=1\Leftrightarrow x=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.\\ La tangente parallèle à $d$ est la tangente en $\dfrac{1}{3}$. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}} \medskip $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{8x-3x^2}{x^2-x+1}.$\\ On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$. \begin{center} \psset{unit=.55cm} \begin{pspicture}(-7,-5)(9,6) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.5 0 .5} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{(8*x-3*x^2)/(x^2-x+1)} %\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-5)(9,6) %\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-5)(9,6) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-5)(9,6) \psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-7,-5)(9,6) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=2pt,linecolor=red]{-7}{9}{\f} \uput[dr](-7,-3.6){\bleu{$\mathcal{C}_f$}} \psline[linewidth=2pt, linecolor=blue]{<->}(-3,1)(9,-3) \psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,-1.6667) \uput[dr](5,-1.67){\bleu{$A$}} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Étudier le signe de la fonction $v$ définie par $v(x)=x^2-x+1$. Signe de $v(x)=x^2-x+1$ :\\ C'est un polynôme du second degré ; \\ $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1=-3<0$.\\ $v(x)$ est alors du signe du coefficient de $x^2$, 1, positif sur $\mathbb{R}$. ($f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$) \item %Montrer que pour tout réel $x$, \[f'(x)=\frac{-5x^2-6x+8}{\left(x^2-x+1\right)^2}.\] $f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=8x-3x^2\\v(x)=x^2-x+1\end{cases}$.\\ Alors $f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=8-6x\\v'(x)=2x-1\end{cases}$.\\ Alors : $f'(x)=\dfrac{(8-6x)\left(x^2-x+1\right)-(2x-1)\left(8x-3x^2\right)}{\left(x^2-x+1\right)^2}\\ =\dfrac{8x^2-8x+8-6x^3+6x^2-6x-16x^2+6x^3+8x-3x^2}{\left(x^2-x+1\right)^2}\\ =\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-5x^2-6x+8}{\left(x^2-x+1\right)^2}}}$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Étudier le signe de $f'(x)$. Le dénominateur de $f'(x)$ est strictement positif donc $f'(x)$ est du signe du numérateur.\\ Signe de $-5x^2-6x+8$ : \\ $\Delta=(-6)^2-4\times (-5)\times 8=36+160=196=14^2>0$.\\ Il y a deux racines :\\ $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+14}{-10}=-2$ et \\ $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-14}{-10}=\dfrac{4}{5}$.\\ Cette expression du second degré est du signe de -5, négatif, à l'extérieur de l'intérieur formé par les racines.\\ Tableau de signes fait ci-dessous avec le tableau de variation. \newpage \item %Donner le tableau des variations de $f$. \phantom{1cm} \begin{center} \begin{variations} x&\mI&&-2&&\dfrac{4}{5}&&\pI\\ \hline f'(x)&&-&\z&+&\z&-&\\ \hline \m{f(x)}&\h{-3}&\d&-4&\c&\h{\dfrac{16}{3}}&\d&-3\\ \hline \end{variations} \end{center} (Les limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont données à titre indicatif mais ne sont qu'au programme de Terminale) \end{enumerate} \item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse 5. L'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 5 est :\\ $y=f'(5)(x-5)+f(5)$\\ Donc $y=-\dfrac{1}{3}\left(x-5\right)-\dfrac{5}{3}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{1}{3}x}}$.\\ C'est une fonction linéaire, donc la tangente $T$ passe par l'origine du repère. %Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$. La tangente $T$ est tracée sur le graphique. \end{enumerate} \bigskip \subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}} \medskip On souhaite tracer une courbe $\mathcal{C}$ pouvant représenter une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3 ; 7]$ qui satisfait les conditions suivantes : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $f(-3) = -2$, $f(7) = 5$ et $f'(7)=2$. \item Le signe de la fonction dérivée $f'$ de $f$ est donné par le tableau suivant : \begin{center} \begin{variations} x&-3&&-1&&3&&7\\ \hline \text{Signe de }f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\ \hline \end{variations} \end{center} \item Sur l'intervalle $[-2~;~5]$, la fonction $f$ admet un maximum égal à 4 et un minimum égal à 1. \item La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y= -x +3$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 1. \end{enumerate} \begin{enumerate} \item %Donner le tableau de variations de la fonction $f$. On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de $-3$, $-1$, 3 et 7. Tableau de variation correspondant aux contraintes ci-dessus : \begin{center} \begin{variations} x&-3&&-1&&3&&7\\ \hline f'(x)&&+&\z&-&\z&+&2\\ \hline \m{f(x)}&-2&\c&\h{4}&\d&1&\c&\h{5}\\ \hline \end{variations} \end{center} \item %Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 7. Une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 7 est \\ $y=f'(7)(x-7)+f(7)\Leftrightarrow y=2(x-7)+5\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=2x-9}}$ \columnbreak \item Ci-dessous est représentée une courbe possible. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-4,-3)(8,5.7) \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5} \newrgbcolor{prune}{.5 0 .5} \def\pshlabel#1{\footnotesize #1} \def\psvlabel#1{\footnotesize #1} \def\f{(x^3-x^2-5*x+13)/4} \def\g{x^2/4-3*x/2+13/4} %\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-3)(8,6) %\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(8,6) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-3)(8,6) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-3)(8,6) \uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}} \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-3}{1}{\f} \psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt,linecolor=bleu]{1}{7}{\g} \psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(2.2,1)(3.8,1) \psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-.5,3.5)(2.5,.5) \psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(5,1)(7,5) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-3,-2)(-1,4)(1,2)(3,1)(7,5) \psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-2,4)(0,4) \uput[ur](1,2){\bleu{$A$}} \end{pspicture} \end{center} \subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}} Soit la fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$ par \\ $f(x)=x-1+\dfrac{2}{2x-3}.$ \begin{enumerate}[1)] \item %Démontrer pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, on a : \[f'(x)=\dfrac{ (2x- 1)(2x- 5)}{(2x- 3)^2}.\] $f(x)=x-1+2\times \dfrac{1}{2x-3}$ donc $f=u+2\times \dfrac{1}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x-1\\v(x)=2x-3\end{cases}$.\\ Alors $f'=u'+2\times \left(\dfrac{1}{v}\right)'=u'+2\times \left(-\dfrac{v'}{v^2}\right)$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=2\end{cases}$.\\ On en déduit : $f'(x)=1+2\times \left(-\dfrac{2}{(2x-3)^2}\right)\\ =1-\dfrac{4}{(2x-3)^2}=\dfrac{(2x-3)^2-4}{(2x-3)^2}\\ =\dfrac{(2x-3^2-2^2)}{(2x-3)^2}=\dfrac{\left[(2x-3+2)\right]\left[(2x-3-2)\right]}{(2x-3)^2}\\ =\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(2x-1)(2x-5)}{(2x-3)^2}}}$.\\ (On a reconnu une identité remarquable au numérateur (différence de deux carrés)) \item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathscr{D}$ . (On fera un tableau de signe) $f'(x)$ est du signe du numérateur puisque $(2x-3)^2>0$ sur $\mathscr{D}$.\\ Signe de $(2x-1)(2x-5)$ :(\textbf{\textcolor{red}{ne pas développer !}})\\ Il y a deux racines évidentes : $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{2}$.\\ $(2x-1)(2x-5)$ est positif (signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.\\ Tableau de signes et de variation ci-dessous (attention, $\dfrac{3}{2}$ est une valeur interdite !!!). \end{enumerate} \end{multicols} %En déduire le tableau de variation de $f$. \phantom{}\begin{center} \begin{variations} x&\mI&&\dfrac{1}{2}&&&\dfrac{3}{2}&&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\ \hline f'(x)&&+&\z&-&&\bb&&-&\z&+&\\ \hline \m{f(x)}&\mI&\c&\h{-\dfrac{3}{2}}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&\dfrac{5}{2}&\c&\h{\pI}\\ \hline \end{variations} \end{center} \textbf{\textcolor{red}{Courbe (non demandée)}} \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-5,-7)(6,7) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-7)(6,7) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-7)(6,7) \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{1.35}{x-1+2/(2*x-3)} \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.65}{6}{x-1+2/(2*x-3)} \psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](1.5,-7)(1.5,7) \psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-5}{6}{x-1} \uput[d](5,4){$\mathscr{C}_f$} \uput[d](3,2){$\Delta$} \end{pspicture} \end{center} On a tracé en pointillés les deux droites asymptotes à la courbe : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item la première, d'équation $x=\dfrac{3}{2}$, correspondant à la valeur interdite (voir cours de Terminale) \item la seconde, $\Delta$, d'équation $y=x-1$, car $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left[f(x)-(x-1)\right]=0$, donc $\mathscr{C}_f$ se rapproche infiniment près de $\Delta$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ou vers $+\infty$ (hors-programme au lycée) \end{enumerate} \label{fin} \end{document}