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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Devoir sur feuille \no 1\\
 (à rendre sur copie double)}}\end{center}

\emph{\og{}Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée.\fg (Von Neumann)
}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Dans chaque cas, résoudre l'équation $P(x)=0$, en réfléchissant à la meilleure stratégie.

\begin{enumerate}[a)]
\item $P(x)=8x^2+64x$

\item $P(x)=3x^2-6x+3$

\item $P(x)=5x^2-125$

\item $P(x)=3x^2-5x-7$
\end{enumerate}

\subsection{}
On définit la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x^3-\dfrac{10}{x}.\].

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\bigskip

\item On pose $A=\left(\sqrt{2}\right)^3-\dfrac{10}{\sqrt{2}}$ et $B=(1,42)^3-\dfrac{10}{1,42}$.\\
Comparer, \textbf{sans calculatrice} et en justifiant les nombres $A$ et $B$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$, par : \[f(x)=4x^3-x^2-70x\]

\begin{enumerate}
\item Étudier, en expliquant soigneusement, les variations de la fonction $f$.

\item Dresser alors le tableau de variation de la fonction $f$
\end{enumerate}



%\subsection{}
%Résoudre les équations suivantes : 
%
%\begin{enumerate}[a)]
%\item $\mathrm{e}^{2x}=1$
%\bigskip
%
%\item $\mathrm{e}^{x^2}=\mathrm{e}^{5x-6}$
%\end{enumerate}
%
%
%\subsection{}
%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n=\mathrm{e}^{3n}$.\\
%Montrer que cette suite est géométrique et donner sa raison.

%\subsection{}
%Quand un animal meurt, le carbone 14, qui est un isotope radioactif du carbone, n'est plus renouvelé ; au fur et à mesure des désintégrations radioactives, la quantité de carbone 14 contenue dans les ossements décroît.\\
%En mesurant le pourcentage restant de carbone 14 dans des ossements, on peut arriver à déterminer la période où a vécu cet animal.\\
%Si on note $f(t)$ le taux de noyaux de carbone 14 restants, où $t$ représente le temps écoulé en années depuis le décès, on sait que : \[f(t) =\mathrm{e}^{-kt}\text{ avec }k = \numprint{0,0001238}.\] 
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $f(\numprint{6000})$.\\
%Quel pourcentage de carbone 14 reste-t-il encore dans les ossements après \numprint{6000} ans ?
%\bigskip
%
%\item Quel pourcentage de carbone 14 reste-t-il encore dans les ossements après \numprint{12000} ans ?
%\bigskip
%
%\item La datation au carbone 14 est utilisée pour dater des ossements âgés de 500 à \numprint{70000} ans. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Quel pourcentage reste-t-il après 500 ans? Et après \numprint{30000} ans ?
%\bigskip
%
%\item On a mesuré un pourcentage de 22,64\:\% sur un squelette de lapin fossilisé.\\
%À quelle date a vécu ce lapin ? 
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}



\subsection{}
 Le plan est muni d'un repère orthonormé.\\
Soit $f$ la fonction  définie par $f(x) =\dfrac{x^2-x-2}{x^2-x+1}$.\\
Soit $\mathscr{C}_f$ sa représentation graphique.

\begin{enumerate}[1)]
\item Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$ ?

\item On admet que $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f$.\\
Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.

\item Déterminer son signe, puis en déduire le sens des variations de $f$.

\item À l'aide d'une calculatrice, conjecturer les limites de $f$ aux bornes de $\mathscr{D}_f$.

\item On admet que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=1$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ à l'infini.\\
(Une droite asymptote à une courbe est une droite dont une courbe s'approche de plus en plus, sans jamais l'atteindre.)\\
Déterminer la position relative de $\mathscr{C}_f$ par rapport à $\mathscr{D}$.

\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}_f$ en son point d'abscisse 2.

\item Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $T$.

\item Construire, sur le même dessin, la courbe $\mathscr{C}_f$, la tangente $T$ et la droite $\mathscr{D}$.

\item \textcolor{blue}{\textbf{Question facultative :}}\\
La courbe $\mathscr{C_f}$ semble-t-elle avoir un axe de symétrie ? Lequel ? \\
Justifier en comparant $f\left(\dfrac{1}{2}-h\right)$ et $f\left(\dfrac{1}{2}+h\right)$ pour tout $h$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+5$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

\item Résoudre l'équation $f(x)=x$.

\item On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases}u_0=10\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+5\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.

\item Comparer $u_0$, $u_1$ et $\dfrac{15}{2}$.

\item Démontrer, par récurrence sur $n$, que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : \[\dfrac{15}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\]

\item Que peut-on déduire sur le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?

\item En utilisant la calculatrice, peut-on penser que la suite $\left(u_n\right)$ converge et si oui, vers quel nombre ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Parmi les élevages d'animaux, les tapins sont connus pour être des champions de la reproduction. Si on suppose que la vitesse d'accroissement d'une population de lapins est proportionnelle à la population, on peut alors proposer le modèle mathématique suivant : $f(t) = 2\mathrm{e}^{0,19t}$ pour le calcul d'une population obtenue à partir d'un couple de lapins, $t$ représente le nombre de mois écoulés depuis le début de l'observation. 
%
%\begin{enumerate}[a)]
%\item En arrondissant à l'entier le plus proche, construire un tableau de valeurs de cette population pour t compris entre 12 et 24.
%\bigskip
%
%\item En 1856, un Britannique amateur de chasse importe en Australie 12 couples de lapins. Les lapins ne rencontrent alors aucun ennemi naturel et, 6 ans plus tard, on en compte 22 millions\dots\\
%Le modèle mathématique proposé dans la question a est-il cohérent avec cette valeur ?
%
%\end{enumerate}
%

\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  