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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir sur feuille \no 1}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Dans chaque cas, résoudre l'équation $P(x)=0$, en réfléchissant à la meilleure stratégie.

\begin{enumerate}[a)]
\item $P(x)=8x^2+64x$\\
$P(x)=0\iff 8x^2+64x=0\iff 8x(x+8)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
L'ensemble des solutions est alors : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-8~;~0\}}}$

\item $P(x)=3x^2-6x+3$\\
$P(x)=0\iff 3x^2-6x+3=0\\
\iff 3\left(x^2-2x+1\right)=0\iff 3\left(x-1\right)^2=0$ (identité remarquable).\\
L'ensemble des solutions est alors : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1\}}}$

\item $P(x)=5x^2-125$\\
$P(x)=0\iff 5x^2-125=0\iff 5\left(x^2-25\right)=0\\
\iff 5(x+5)(x-5)=0$ (identité remarquable).\\
L'ensemble des solutions est alors : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5~;~5\}}}$

\item $P(x)=3x^2-5x-7$\\
$P(x)=0\iff 3x^2-5x-7=0$ (polynôme du second degré).\\
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times (-7)=25+84=109>0$.\\
L'équation admet deux solutions :\\
$x_1=\dfrac{5-\sqrt{109}}{6}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5-\sqrt{109}}{6}~;~\dfrac{5+\sqrt{109}}{6}\right\}}}$


\end{enumerate}

\subsection{}
On définit la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x)=x^3-\dfrac{10}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$;\\
$f=u+10\times v$  avec $\begin{cases}u(x)=x^3\\v(x)=\dfrac{1}{x}\end{cases}$.\\
$f'=u'+10\times v'$ avec $\begin{cases}u'(x)=3x^2\\v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=3x^2+10\times \dfrac{1}{x^2}=3x^2+\dfrac{10}{x^2}>0$ sur $]0~;~+\infty[$ donc $f$ est croissante sur $]0~;~=\infty[$.

\item On pose $A=\left(\sqrt{2}\right)^3-\dfrac{10}{\sqrt{2}}$ et $B=(1,42)^3-\dfrac{10}{1,42}$.\\
%Comparer (en justifiant) les nombres $A$ et $B$.
On remarque que $A=f\left(\sqrt{2}\right)$ et $B=f(1,42)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $0<\sqrt{2}<1,42$

\item Sur $]0~;~+\infty[$, $f$ est croissante donc $f$ conserve l'ordre
\end{enumerate}
On en déduit que $f\left(\sqrt{2}\right)<f(1,42)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{A<B}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$, par : \[f(x)=4x^3-x^2-70x\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier, en expliquant soigneusement, les variations de la fonction $f$.
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=12x^2-2x-70=2\left(6x^2-x-35\right)}}$ qui est du signe de $6x^2-x-35$ (polynôme du second degré)\\
$\Delta=(-1)^2-4\times 6\times (-35)=841$.\\
Il y a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{1-\sqrt{\numprint{841}}}{2\times 6}=\dfrac{1-29}{12}=-\dfrac{28}{12}=-\dfrac{7}{3}$\\
$x_2=\dfrac{1+\sqrt{\numprint{841}}}{2\times 6}=\dfrac{1+29}{12}=-\dfrac{30}{12}=-\dfrac{5}{2}$

\item %Dresser alors le tableu de variation de la fonction $f$.
Les variations de $f$ dépendent du signe de $f'$.\\
$f'(x)$ est un polynôme du second degré qui a deux racines ; il est du signe du coefficient de $x^2$ (positif) à l'extérieur des racines et négatif entre ces racines.\\
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{7}{3}&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\dfrac{\numprint{2891}}{27}}&\d&-\dfrac{475}{4}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On verra le calcul des limites à l'infini dans un prochain chapitre.
\end{enumerate}



%\subsection{}
%Résoudre les équations suivantes : 
%
%\begin{enumerate}[a)]
%\item $\mathrm{e}^{2x}=1$
%\bigskip
%
%\item $\mathrm{e}^{x^2}=\mathrm{e}^{5x-6}$
%\end{enumerate}
%
%
%\subsection{}
%Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_n=\mathrm{e}^{3n}$.\\
%Montrer que cette suite est géométrique et donner sa raison.

%\subsection{}
%Quand un animal meurt, le carbone 14, qui est un isotope radioactif du carbone, n'est plus renouvelé ; au fur et à mesure des désintégrations radioactives, la quantité de carbone 14 contenue dans les ossements décroît.\\
%En mesurant le pourcentage restant de carbone 14 dans des ossements, on peut arriver à déterminer la période où a vécu cet animal.\\
%Si on note $f(t)$ le taux de noyaux de carbone 14 restants, où $t$ représente le temps écoulé en années depuis le décès, on sait que : \[f(t) =\mathrm{e}^{-kt}\text{ avec }k = \numprint{0,0001238}.\] 
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $f(\numprint{6000})$.\\
%Quel pourcentage de carbone 14 reste-t-il encore dans les ossements après \numprint{6000} ans ?
%\bigskip
%
%\item Quel pourcentage de carbone 14 reste-t-il encore dans les ossements après \numprint{12000} ans ?
%\bigskip
%
%\item La datation au carbone 14 est utilisée pour dater des ossements âgés de 500 à \numprint{70000} ans. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Quel pourcentage reste-t-il après 500 ans? Et après \numprint{30000} ans ?
%\bigskip
%
%\item On a mesuré un pourcentage de 22,64\:\% sur un squelette de lapin fossilisé.\\
%À quelle date a vécu ce lapin ? 
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}


\newpage



\subsection{}%http://mathscisse.free.fr/Deuxexercicescorrig%E9sfonctionsrationnellesTS.pdf
 Le plan est muni d'un repère orthonormé.\\
Soit $f$ la fonction  définie par $f(x) =\dfrac{x^2-x-2}{x^2-x+1}$.\\
Soit $\mathscr{C}_f$ sa représentation graphique.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$ ?
On résout $x^2-x+1=0$ ; $\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1<0$ donc il n'y a pas de racine.\\
Le dénominateur ne s'annule pas, donc l'ensemble de définition est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}}}$.

\item On admet que $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f$.\\
%Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x^2-x-2\\v(x)=x^2-x+1\end{cases}$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=2x-1\\v'(x)=2x-1$.\\
Alors : \\
$f'(x)=\dfrac{(2x-1)\left(x^2-x+1\right)-(2x-1)\left(x^2-x-2\right)}{\left(x^2-x+1\right)^2}\\
=\dfrac{(2x-1)\left[x^2-x+1-\left(x^2-x-2\right)\right]}{\left(x^2-x+1\right)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3(2x-1)}{\left(x^2-x+1\right)^2}}}$\\

\item %Déterminer son signe, puis en déduire le sens des variations de $f$.
$3>0$ et $\left(x^2-x-1\right)^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x-1$, donc négatif pour $x<\dfrac{1}{2}$, nul pour $x=\dfrac{1}{2}$ et positif pour $x>\dfrac{1}{2}$.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1}{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{1}&\d&-3&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %À l'aide d'une calculatrice, conjecturer les limites de $f$ aux bornes de $\mathscr{D}_f$.
On observe que, pour $x$ tendant vers $-\infty$ ou $+\infty$, $f(x)$ se rapproche de plus en plus de 1 (on verra les calculs de limites en cours bientôt)

\item %On admet que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y=1$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ à l'infini.\\
Puisque $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=1$, la droite d'équation $y=1$ est asymptote à $\mathscr{C}_f$ à l'infini.
Pour déterminer la position relative de $\mathscr{C}_f$ par rapport à $\mathscr{D}$, on étudier le signe de $f(x)-1$.\\

\columnbreak
$f(x)-1=\dfrac{x^2-x-2}{x^2-x+1}-1=\dfrac{x^2-x-2-\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-3}{x^2-x+1}<0}}$ car le dénominateur est strictement positif.\\
$f(x)<1$ pour tout $x$ donc $\mathscr{C}_f$ est en dessous de l'asymptote $\mathscr{D}$.

\item %Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}_f$ en son point d'abscisse 2.
L'équation de la tangente en $a$ est \[y=f'(x)(x-a)+f(a).\]
Avec $a=2$, on obtient $y=f'(2)(x-2)+f(2)$ avec $\begin{cases}f'(2)=1\\f(2)=0\end{cases}$\\
La tangente $T$ en 2 a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{y=x-2}}$.

\item %Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $T$.
On étudier le signe de $f(x)-(x-2)$ :\\
$f(x)-(x-2)=\dfrac{x^2-x-2}{x^2-x+1}-(x-2)\\
=\dfrac{x^2-x-2-(x-2)\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}\\
=\dfrac{x^2-x-2-\left[x^3-x^2+x-2x^2+2x-2\right]}{x^2-x+1}\\
=\dfrac{-x^3+4x^2-4x}{x^2-x+1}=\dfrac{-x\left(x^2-4x+4\right)}{x^2-x+1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-x(x-2)^2}{x^2-x+1}}}$.\\
$(x-2)^2\geqslant 0$, $x^2-x+1>0$ donc $f(x)-(x-2)$ est du signe de $-x$ et s'annule en 2 (évident puis que 2 est l'abscisse du point de tangence).\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&2&&\pI\\
\hline
f(x)-(x-2)&&+&\z&-&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $T$ pour $x<0$

\item $\mathscr{C}_f$ coupe $T$ en 0.

\item $\mathscr{C}_f$ est en dessous de $T$ pour $x>0$ avec $T$ tangente à $\mathscr{C}_f$ en 2.
\end{enumerate}

\columnbreak

\item %Construire, sur le même dessin, la courbe $\mathscr{C}_f$, la tangente $T$ et la droite $\mathscr{D}$.
\textbf{\textcolor{blue}{Courbe :}}\phantom{}\\

\begin{center}
\psset{unit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-5)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-5)(6,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{6}{(x^2-x-2)/(x^2-x+1)}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](-4,1)(6,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt,plotpoints=800]{1}{3}{x-2}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,linewidth=2pt](0.5,-5)(.5,4)
\uput[u](-3,1){$\mathscr{D}$}
\uput[u](3,1){$T$}
\uput[u](-1,0){$\mathscr{C}_f$}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=<->]{.5}{1}{(x^2-x-2)/(x^2-x+1)}
\end{pspicture}
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : il est conseillé de tracer les tangentes horizontales, d'une longueur faible, puisque une tangente est une propriété \textbf{locale}.

\item \textcolor{blue}{\textbf{Question facultative :}}\\
%La courbe $\mathscr{C_f}$ semble-t-elle avoir un axe de symétrie ? Lequel ? \\
La courbe $\mathscr{C_f}$ semble-t-elle avoir la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ comme axe de symétrie.\\
%Justifier en comparant $f\left(\dfrac{1}{2}-h\right)$ et $f\left(\dfrac{1}{2}+h\right)$ pour tout $h$.
\textbf{\textcolor{blue}{Justification :}} \\
Pour tout $h$ :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(\dfrac{1}{2}-h\right)=\dfrac{\left(\frac12-h\right)^2-\left(\frac12-h\right)-2}{\left(\frac12-h\right)^2-\left(\frac12-h\right)+1}\\
=\dfrac{\frac14-h+h^2-\frac12+h-2}{\frac14-h+h^2-\frac12+h+1}=\dfrac{h^2-\frac94}{h^2+\frac34}$

\item $f\left(\dfrac{1}{2}+h\right)=\dfrac{\left(\frac12+h\right)^2-\left(\frac12+h\right)-2}{\left(\frac12+h\right)^2-\left(\frac12+h\right)+1}\\
=\dfrac{\frac14+h+h^2-\frac12-h-2}{\frac14+h+h^2-\frac12-h+1}=\dfrac{h^2-\frac94}{h^2+\frac34}$

\item Pour tout $h$, $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\dfrac{1}{2}-h\right)=f\left(\dfrac{1}{2}+h\right)}}$.\\
\end{enumerate}
$\mathscr{C}_f$ est bien symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ (voir courbe)
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}
Soit $f$ l fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+5$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
$f$ est affine, de coefficient directeur $\dfrac{1}{3}>0$ donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=x$.
$f(x)=x\iff \dfrac{1}{3}x+5=x\iff 5=x-\dfrac{1}{3}x\\
\iff 5=\dfrac{2}{3}x\iff \boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{15}{2}}}$.\\
(\emph{Remarque : ce nombre est appelé point fixe de $f$}).

\item On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases}u_0=10\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+5\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$.
$u_1=\dfrac{1}{3}\times 10+5=\dfrac{10}{3}+5=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{25}{3}}}$


\item %Comparer $u_0$, $u_1$ et $\dfrac{7}{2}$.
$u_0=10=\dfrac{60}{2}$~;~$u_1=\dfrac{25}{3}=\dfrac{50}{6}$ et $\dfrac{15}{2}=\dfrac{45}{6}$ donc :\\
\[\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{15}{2}<u_1<u_0}}.\]

\item %Démontrer, par récurrence sur $n$, que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a : \[\dfrac{15}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\]
Notons $P(n)$ la propriété : $\dfrac{15}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.\\
Démontrons-la par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=0$, on a vu à la question précédente que $\dfrac{15}{2}<u_1<u_0$ donc $P(0)$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que $P(n)$ est vraie, donc $\dfrac{15}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.\\
Puisque $f$ est croissante, elle conserve l'ordre donc :\\
$\dfrac{15}{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\\
\Rightarrow f\left(\dfrac{15}{2}\right)<f\left(u_{n+1}\right)<f\left(u_n\right)\\
\Rightarrow \dfrac{15}{2}<u_{n+2}<u_{n+1}$.\\
$P(n+1)$ est vraie.\\
On a montré que si $P(n)$ est vraie, alors $P(n+1)$ est vraie et ce, pour tout $n\geqslant 0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion :}} D'après\textbf{ \textcolor{blue}{l'axiome de récurrence}}, $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

\item Pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\item %En utilisant la calculatrice, peut-on penser que la suite $\left(u_n\right)$ converge et si oui, vers quel nombre ?
À l'aide de la calculatrice, on conjecture que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $7,5=\dfrac{15}{2}$.\\
On pourra le démontrer dans un chapitre ultérieur.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  