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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les limites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Donner les limites suivantes :

\begin{enumerate}
\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{5}{n^2}\right)$.

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}-7n^2$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-n^4+3\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3}{n}+5\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2+n+5\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{7}{n^3}+\dfrac{3}{n}\right)$.

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3n^2+\dfrac{1}{n}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n+1\right)\left(n-\dfrac{1}{5}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3+\frac1n}{2+\frac1n}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-n^3+\dfrac{3}{n}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{n+1}{1+\frac1n}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\sqrt{n}-\dfrac{1}{n}+1\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}(2-n)(2+n)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{5-\frac2{n^2}}{n}$

\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}
Calculer les limites suivantes :

\begin{enumerate}
\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-3n+1\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-4n^2+3n-\dfrac{1}{n}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^4-n^3+2n^2\right)$
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer les limites suivantes :

\begin{enumerate}
\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{n+1}{n+2}$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{5n+1}{1-7n}$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{n^2+7n+3}{n^4+3n^2+1}$


\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{n^2-\cos n}{n+2}\right)$
\end{enumerate}



\subsection{}

On considère la suite $\left(u_n\right)$  définie par   $u_0 = \dfrac{3}{2}$ et  $u_{n + 1} = u_n^2 - 2u_n + 2$  pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $1\leqslant u_n\leqslant 2$.

\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[u_{n+1}-u_n=\left(u_n-2\right)\left(u_n-1\right).\]

\item Démontrer que $\left(u_n\right)$ est une suite décroissante.

\item Cette suite est-elle convergente ? Justifier.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  