\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat (géométrie dans l'espace)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie mai 2022}}
L'espace est rapporté un repère orthonormal où l'on considère :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]les points A$(2~;~-1~;~0)$ B$(1~;~0~;~- 3)$, C$(6~;~6~;~1)$  et E$(1~;~2~;~4)$ ;
\item[$\bullet~~$]Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y - z + 4 = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
		
		\item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{BA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}}$ puis les longueurs BA et BC.\index{produit scalaire}
		
		\item En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.
	\end{enumerate}
	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan (ABC).
		
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
		
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan ABC et passant par le point E.\index{equation de droite@équation de droite}
		
		\item Démontrer que le projeté orthogonal H  du point E sur le plan (ABC) a pour coordonnées $\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
	\end{enumerate}
	
\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$  la hauteur de la pyramide associée à cette base.

Calculer l'aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à $16,5$ unités de volume.
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2022}}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on considère:

$\bullet~~$ le point A de coordonnées $(-1~;~1~;~3)$,

$\bullet~~$la droite $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est: $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1+2t\\y &=& 2 - t,\\z&=& 2+2t
\end{array}\right.  t \in \mathbb{R}$.

On admet que le point A n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de la droite $\mathcal{D}$.\index{vecteur directeur}
		
		\item Montrer que le point B$(-1~;~3~;~0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
		
		\item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}$.\index{produit scalaire}
	\end{enumerate}	
	
\item On note $\mathcal{P}$ le plan passant par le point A et orthogonal à la droite $\mathcal{D}$, et on appelle H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$. Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite $\mathcal{D}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan $\mathcal{P}$ admet pour équation cartésienne: $2x - y + 2z - 3 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan}
		\item En déduire que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac79~;~\dfrac{19}{9}~;~\dfrac{16}{9}\right)$.
		
		\item Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.
	\end{enumerate}	
	
\item Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite $\mathcal{D}$, par une autre méthode.

On rappelle que le point B$(-1~;~3~;~0)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ et que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{\text{HB}} = k\overrightarrow{u}$.\index{vecteurs colinéaires}
		
		\item Montrer que $k = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{u}}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|^2}$.
		
		\item Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point H.
	\end{enumerate}
	
\item On considère un point C appartenant au plan $\mathcal{P}$ tel que le volume du tétraèdre ABCH soit égal à $\dfrac89$.

Calculer l'aire du triangle ACH.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.\index{volume tétraèdre}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  