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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Centres étrangers juin 2022}}\end{center}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.

On considère les points A$(5~;~0~;~-1)$, B$(1~;~4~;~-1)$, C(1~;~0~;~3), D(5~;~4~;~3) et E(10~;~9~;~8).

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit R le milieu du segment [AB].
		
Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$.
		\item Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point R et dont $\overrightarrow{\text{AB}}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est:

\[x - y - 1 = 0.\]\index{equation de plan@équation de plan}
		\item Démontrer que le point E appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que EA = EB .
	\end{enumerate}	
\item  On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne $x - z - 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
		\item On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
		
Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite}

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2+t\\
y&=&1+t \\
z&=&t\end{array}\right.(t \in \mathbb{R}).\]

	\end{enumerate}
\item  On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$.

Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.


\medskip

Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans $\mathcal{P}_1$,\: $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des
segments [AB], [AC] et [AD].\index{plan médiateur}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\Omega \text{A} = \Omega \text{B} = \Omega \text{C} = \Omega \text{D}$.
		\item En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont
on précisera le centre et le rayon.\index{sphère}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  