\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/6}
\title{\textcolor{red}{Fonctions numériques : dérivation}}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents



\subsection{\textcolor{red}{Notion de tangente à une courbe}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de courbe représentative $\mathscr{C}_f$  et soit $A$ un point fixe de $\mathscr{C}_f$.\\
Soit $M$ un point variable de $\mathscr{C}_f$. On trace  la droite $(AM)$ qui est sécante à $\mathscr{C}_f$. On fait tendre $M$ vers $A$. Si, lorsque $M$ tend vers $A$, la sécante admet une position limite, on dit que cette limite est tangente à $\mathscr{C}_f$.\\


\parbox{9cm}{
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(5,6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(x-1)*(x+2)*(x-3)/5}
\psplot[linecolor=red]{-5}{5}{(--1.97--0.43*x)/1.26}
\rput[bl](-3.4,-9.62){$f$}
\psdots(-1.56,1.03)
\rput[bl](-1.48,1.14){$A$}
\psdots(-0.3,1.46)
\rput[bl](-0.22,1.58){$M$}
\uput[u](4,3.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{9cm}{
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{5.0}{(x-1)*(x+2)*(x-3)/5}
\psplot[linecolor=red]{-3}{5}{(--1.47--0.57*x)/0.56}
\rput[bl](-3.4,-9.62){$f$}
\psdots(-1.56,1.03)
\rput[bl](-1.48,1.14){$A$}
\psdots(-1,1.6)
\uput[l](-0.92,1.72){$M$}
\uput[u](4,3.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture*}}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(6,6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-3)(6,6)
\psplot[plotpoints=200]{-5.0}{6.0}{(x-1)*(x+2)*(x-3)/5}
\psplot[linecolor=red]{-5}{6}{(--3.69--1.71*x)/1}
\rput[bl](-3.4,-9.62){$f$}
\psdots(-1.56,1.03)
\psdots(-1.56,1.03)
\rput[bl](-1.48,1.14){$M=A$}
\uput[u](4,3.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture*}

\end{center}



\subsection{\textcolor{red}{Nombre dérivé de $f$ en $a$ et fonction dérivée :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Notons $a$ l'abscisse de $A$ et $x$ l'abscisse de $M$. Le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ est : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. \\
Dire que la sécante a une position limite qui est la droite tangente à $\mathscr{C}_f$en $A$ signifie que $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est un nombre fini. \\
Si ce nombre \textbf{existe}  et s'il est \textbf{fini}, on pose : $\textcolor{red}{\mathbf{f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$ et ce nombre est le \textbf{\textcolor{red}{nombre dérivé}} de $f$  en $a$.\\
On dit alors que $f$ est dérivable en $a$.
\end{bclogo}

\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarque :}}
En posant $x=a+h$, on obtient : $\mathbf{\textcolor{red}{f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}}$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : $f(x)=x^2$.
\bigskip

Montrons que $f$ est dérivable en 3.\\
Pour tout $h$, $\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{[3+h]^2-3^2}{h}=\dfrac{3^2+2\times 3\times h+h^2-3^2}{h}=\dfrac{6h+h^2}{h}=6+h$.\\
Par conséquent : $\lim_{h\rightarrow 0 }\left(\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\right)=6$.\\
$f$ est dérivable en $a$ et $\boxed{\textcolor{red}{f'(3)=6}}$

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Cas général }}: 
Pour tout $a\in\mathbb{R}$ : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{[a+h]^2-a^2}{h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}=2a+h$.\\
Par conséquent : $\lim_{h\rightarrow 0 }\left(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\right)=2a$.\\
$f$ est dérivable en $a$ et $\boxed{\textcolor{red}{f'(a)=2a}}$

Par définition, $f'(a)$   est \textbf{le coefficient directeur de la tangente} à $\mathscr{C}_f$ en $a$.\\

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'équation de la tangente est alors : $\mathbf{\textcolor{red}{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}$.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}} \\
Rappel : la droite, de coefficient directeur $a$ et passant par le point $M_{0}$ de coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ a pour équation $y-y_{0}=a\left(x-x_{0}\right)$.\\
En effet, l'équation est de la forme $y=ax+b$.\\
Comme $M_{0}$ appartient à cette droite, ses coordonnées vérifient cette équation, donc $y_{0}=ax_{0}+b$.\\
Par conséquent : $\left\{\begin{array}{lll}y&=&ax+b\\y_{0}&=&ax_{0}+b\end{array}\right.$.\\
Par soustraction, on obtient : $y-y_{0}=a\left(x-x_{0}\right)$.\\

\noindent Pour la tangente, on obtient donc : $y-y_{A}=f'(a)\left(x-x_{A}\right)$ qui donne $y=f'(a)\left(x-x_{A}\right)+f(a)$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$f$  est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si $f$ est dérivable en tout $a$ de $I$.
\end{bclogo}

\bigskip


   
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarque}}
La dérivée $f'$ de $f$ est elle-même une fonction. Si elle est dérivable, on appelle $f''$ sa dérivée (dérivée seconde de $f$).\\
Cette dérivée seconde peut elle-même être dérivable et ainsi de suite. Les dérivées d'ordre $n$, avec $n\geqslant 3$, se notent $f^{(n)}$.\\
Ainsi : $f''=\left(f'\right)'$ ; $f^{(3)}=\left(f''\right)'$ et plus généralement $f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'$
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=3x^4+5x^2+2x+1$.\\
On a : $f'(x)=12x^3+10x+2$ ; $f''(x)=36x^2+10$ ; $f^{(3)}(x)=72x$ : $f^{(4)}(x)=72$ ; $f^{(5)}(x)=0$ et les dérivées suivantes sont toutes égales à la fonction nulle.

%\item Soit $f(x)=\sin x$.\\
%Alors : $f'(x)=\cos x$ ; $f''(x)=-\sin x$ ; $f^{(3)}(x)=-\cos x$ ; $f^{(4)}(x)=\sin x=f(x)$. On retombe sur la fonction initiale.

\item Imaginons qu'il existe une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, $f'(x)=f(x)$. $f$ est-elle dérivable à l'ordre 3 si oui, que vaut $f^{(3)}$ ?\\
Réponse : $f'=f$ donc $f'$ est dérivable et $f''=(f')'=f'$ et de même $f^{(3)}=f$.\\
On pourrait alors montrer par récurrence, que la fonction $f$ vérifie alors : pour tout $n$, $f^{(n)}=f$.\\
On étudiera cette fonction plus en détail dans un prochain chapitre.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exercices}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Montrer que la fonction $x\mapsto |x|$ n'est pas dérivable en 0.

\item Étudier la dérivabilité de la fonction $x\mapsto x|x|$ en 0.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Solutions :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $f$ la fonction $x\mapsto |x|$.\\
$\forall x\neq 0$, $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{|x|-0}{x-0}=\dfrac{|x|}{x}$.\\
Si $x<0$, $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{-x}{x}=-1$ et pour $x>0$, $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x}=1$.\\
On en déduit que : $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}(-1)=-1$, alors que $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}(1)=1$.\\
La limite à gauche et à droite n'est pas la même, donc la limite en 0 n'existe pas ; $f$ n'est pas dérivable en 0 (mais l'est à gauche et à droite) ; on dit que la courbe admet une demi-tangente à gauche et une demi-tangente à droite.

\item Soit $g:x\mapsto x|x|$. Cette fois, on a : $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(|x|\right)=0$ ; la limite existe, donc la fonction $g$ est dérivable en 0 et la courbe représentative de $g$ a une tangente en 0.
\end{enumerate}

Voici les deux représentations graphiques de $f$ et de $g$.


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,3)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3.0}{3.0}{abs(x)}
\end{pspicture*}
\end{center}}\hfill\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,3)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{-3.0}{3.0}{x*abs(x)}
\rput[bl](-4.2,4){$f$}
\end{pspicture*}
\end{center}}
%\end{multicols}

\subsection{\textcolor{red}{Tableau des dérivées usuelles :}}
\begin{center}
$\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
\rowcolor{yellow!40}\textbf{ Fonction $f$définie par : }&\textbf{Fonction $f'$ définie par : }&\textbf{ Domaine de décidabilité de validité }\\
\hline
f(x)=k\in\mathbb{R}&f'(x)=0&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=x^n(n\in\mathbb{N}^*)&f'(x)=nx^{n-1}&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=\frac1x&f'(x)=-\frac1{x^2}&\mathbb{R}^*\\
\hline
f(x)=\frac1{x^n}=x^{-n}~(n\in\mathbb{N},~n\geqslant 2)&f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}=-nx^{-n-1}&\mathbb{R}^*\\
\hline
f(x)=\sqrt{x}&f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}&]0~;~+\infty[\\
\hline
f(x)=\cos x&f'(x)=-\sin x&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=\sin x&f'(x)=\cos x&\mathbb{R}\\
\hline
\end{array}$

\end{center}


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Dérivées et opérations :}}
Soient $u$, $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(ku)'=ku'$

\item $(u+v)'=u'+v'$

\item $(uv)'=u'v+uv'$

\item $\left(\frac1u\right)'=-\frac {u'}{u^2}$, $u(x)\neq 0$

\item $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, $v(x)\neq 0$

\end{enumerate}


\end{minipage}}
\end{center}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}
\item $f(x)=3x^5$ ; $f=ku$ avec $k=3$ et $u(x)=x^5$.\\
$f'=ku'$ avec $u'(x)=5x^4$ donc $f'(x)=3\times 5x^4=\boxed{\textcolor{red}{15x^4}}$.

\item $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.\\
$f=u+v$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\v(x)=\dfrac{1}{x}\end{cases}$.\\
$f'=u'+v'$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=1+\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{1-\dfrac{1}{x^2}}}$

\item $f(x)=(3x+5)\sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}^+$.\\
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=3x+5\\v(x)=\sqrt{x}\end{cases}$.\\
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$.\\
Alors $f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=3\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{cases}$\\
On en déduit : $f'(x)=3\sqrt{x}+(3x+5)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=3\sqrt{x}+\dfrac{3x+5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x\times 2\sqrt{x}+(3x+5)}}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+(3x+5)}{2\sqrt{x}}=\dfrac{9x+5}{2\sqrt{x}}$ car $3\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}=3\times 2\times \left(\sqrt{x}\right)^2=6x$.

\item $f(x)=\dfrac{2x+5}{3x-7}$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{7}{3}\right\}$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x+5\\v(x)=+x-7\end{cases}$.\\
Alors : $f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=2\\v'(x)=3\end{cases}$.\\
Donc : $f'(x)=\dfrac{2(3x-7)-3(2x+5)}{(3x-7)^2}=\dfrac{6x-14-6x-15}{(3x-7)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{29}{(3x-7)^2}}}$
\end{enumerate}





\subsection{\textcolor{red}{Variations d'une fonction}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si, $f'=0$ sur $I$.

\item $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si, $f'$ est strictement positive sur $I$ sauf éventuellement  pour un certain nombre fini de valeurs isolées pour lesquelles elle s'annule.

\item $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si, $f'$ est strictement négative sur $I$ sauf éventuellement  pour un certain nombre fini de valeurs isolées pour lesquelles elle s'annule.

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip



\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}


\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=2x$ qui est négatif sur $\mathbb{R}^-$ et positif sur $\mathbb{R}^+$.\\
On en déduit que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ et croissante sur $\mathbb{R}^+$.

\item $f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ ; $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$.\\
On en déduit que $f$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$; de même que sur $]0~;~+\infty$.\\
Remarque : la monotonie a lieu sur des \textbf{intervalles}.

\item $f(x)=\sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}^+$. ; $f$ est dérivable sur $–0~;~=\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0$ donc la fonction $f$ est décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\item \text{ }


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x^3$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=3x^2>0$ pour $x\neq 0$ et $f'(x)=0$ pour $x=0$.\\
On en déduit que la fonction $f$   est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. \\
La courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale en 0.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.25cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-9.)(2.,9.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-9.)(2.,9.)
\psplot[plotpoints=200]{-2.0}{2.0}{x^3}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-1,0)(1,0)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-1.60363636364,-5.62545454545){$\mathscr{C}_f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{multicols}

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}

