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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Primitives d'une fonction continue}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Équation différentielle}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle équation différentielle une équation à une inconnue dont l'inconnue est une \textbf{fonction} et faisant intervenir la fonction, sa dérivée et éventuellement les dérivées d'ordre deux, trois, etc.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}}

\begin{enumerate}[a)]
\item $y'=y$, équation différentielle dont la fonction exponentielle est une solution car $\exp '=\exp$

\item Équation du pendule simple : une masse est suspendue à un fil de longueur $L$ à l'équilibre, donc verticalement.\\
On écarte la masse de sa position d'équilibre et on note $\theta$ l'angle formé avec la verticale.\\
Cet angle dépend de $t$ et vérifie l'équation différentielle $\theta''-\dfrac{g}{L}\sin \theta=0$ (qu'on ne sait pas résoudre, si ce n'est de manière approchée !)
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Équation différentielle $\mathbf{y'=f}$}}
$f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Primitive d'une fonction continue}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $F$ une fonction définie sur $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$.\\
On dit alors que $F$ est une solution de l'équation différentielle $y'=f$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :

\begin{enumerate}[a]
\item Soit l'équation différentielle $y'=x^2$. (remarque, on commet un abus de langage, car $x^2$ est un nombre, pas une fonction).\\
Soit $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3$ ; $F'(x)=\dfrac{1}{3}\times 3x^2=x^2$ donc $F$ est solution de l'équation différnetielle $y'=x^2$.

\bigskip

On peut remarque que $G_k(x)=F(x)=k$, où $k\in\mathbb{R}$, vérifie aussi $F'=x^2$, donc $G_k$ est aussi une solution, quelle que soit la valeur de $k$, ce qui montre qu'il n'y a pas unicité d'une primitive.

\item Soit l'équation différentielle $y'=\dfrac{1}{x}$ sur $\left]0~;~+\infty\right[$ ; \\
$F$ définie par $F(x)=\ln x$ est solution de cette équation différentielle car $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}}
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}}.\\
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $F$ une primitive de $f$ donc $F'=f$.\\
Soit $k\in\mathbb{R}$ une constante. $(F+k)'=F'+0=f$ donc $F+k$ est aussi une primitive de $f$.

\item Soient $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$.\\
Alors $F'=f$ et $G'=f$.\\
$G-F$ est dérivable ; $(G-F)'=G'-F'=f-f=0$ donc $(G-F)'=0$.\\
$G-F$ est donc constant ; $G-F=k$ d'où $G=F+k$, $k\in\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On considère l'équation différentielle $y'=f$.\\
Soient $x_0$ et $y_0$ deux réels.\\
Il existe une unique solution de cette équation différentielle, donc une unique primitive $F$ de $f$, telle que $F\left(x_0\right)=y_0$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :\\
$f$ est continue, donc admet une primitive $F$. Les autres primitives de $f$ sont de la forme $F+k$.\\
On doit avoir $F\left(x_0\right)=y_0$ donc $k=y_0-F\left(x_0\right)$ ~;~ $k$ est donc unique et la primitive aussi.

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $f(x)=\mathrm{e}^{3x}$.\\
Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}$ car $F'(x)=3\mathrm{e}^{3x}$.\\
Il y a une seule primitive $G$ de $f$ vérifiant $G(0)=-1$.\\
$G(x)=F(x)+k=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}+k$ ; $G(0)=-1\Leftrightarrow k=-\dfrac{1}{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{G(x)=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}}}$

\newpage



\subsubsection{\textcolor{blue}{Primitives des fonctions usuelles}}
\noindent Par lecture inverse du tableau des dérivées des fonctions usuelles, on obtient les résultats suivants:\\


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{longtable}{|c|c|c|}\hline
\rowcolor{blue!20} \textcolor{red}{{\text{Fonction}}}&\textcolor{red}{{\text{une primitive}}}&\textcolor{red}{{\text{validité sur}}}\endfirsthead\hline
\textcolor{red}{{\text{Fonction}}}&\textcolor{red}{{\text{une primitive}}}&\textcolor{red}{{\text{validité}}}\endhead\hline
$f(x)=a\in\mathbb{R}$&$F(x)=ax$&$\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=x^n(n\in\mathbb{N}^*)$&$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$&$\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&$F(x)=\ln(x)$&$ ]0~;~+\infty[$\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$&$F(x)=-\dfrac{1}{x}$&$\mathbb{R}^*$\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^n},~n\in\mathbb{N},~n>1$&$F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$&$\mathbb{R}^*$\\
\hline
$f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$&$F(x)=\sqrt{x}$&$]0 ;+\infty[$\\
\hline
$f(x)=\mathrm{e}^{x}$&$F(x)=\mathrm{e}^{x}$&$\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=\cos x$&$F(x)=\sin x$&$\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=\sin x$&$F(x)=-\cos x$&$\mathbb{R}$\\
\hline
\textbf{\textcolor{red}{Hors-programme} }: $f(x)=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}$&$F(x)=\tan x$&$\left](2k-1)\frac{\pi}{2} ; (2k+1)\frac{\pi}{2} \right[\mbox{ , }k\in\mathbb{Z}$\\
\hline
\end{longtable}

\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Primitives et opérations :}}


\noindent Soient $u$ et $v$ deux fonctions admettant des primitives respectives $U$ et $V$ sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction admettant une primitive $G$ sur un intervalle $J$ contenant l'intervalle $u(I)$.\\
On note $u'$ la dérivée de $u$.

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{blue!20}\textcolor{red}{{\text{Fonction}}}&\textcolor{red}{{\text{une primitive}}}&\textcolor{red}{{\text{validité}}}\\
\hline
f=\alpha u+\beta v((\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2)&F=\alpha U+\beta V&I\\
\hline
f=u'\times g\circ u&F=G\circ u&I\\
\hline
f=u'u^n(n\in\mathbb{N}^*&\frac{u^{n+1}}{n+1}&I\\
\hline
f=\frac{u'}{u}&\ln|u|&\mbox{ u ne s'annule pas sur }I\\
\hline
f=\dfrac{u'}{u^n},~n\in\mathbb{N},~n>1&F=-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}&u\text{ ne s'annule pas sur }I\\
\hline
f=\frac{u'}{2\sqrt{u}}&F=\sqrt{u}&u>0\mbox{ sur }I\\
\hline
f=u'\mathrm{e}^{u}&F=\mathrm{e}^{u}&\\
\hline
f=u'\cos(u)&\sin(u)&I\\
\hline
f=u'\sin(u)&-\cos(u)&I\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

Cela vient des formules de dérivation.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :\\
Résoudre l'équation différentielle $y'=\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2}$ (E).\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^2}$.\\
$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $\mathbb{R}$.\\
On remarque que $f(x)=x\times \dfrac{1}{\left(x^2+1\right)^2}$.\\
Posons $u(x)=x^2+1$ ; alors $u'(x)=2x$.\\
On voit que $f=\dfrac{1}{2}u'(x)\times \dfrac{1}{u^2}$ dont une primitive est $F=\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{u}\right)$.\\
Par conséquent : $F(x)=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x^2+1}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{2\left(x^2+1\right)}}}$

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}\\
Soit $h$ la fonction définie par : $h(x) = (x - 1)\text{e}^{-2x} + 1$.\\
Montrer que $H$ définie par $H(x) = \dfrac{1}{4}(1 - 2x)\text{e}^{-2x} + x$ est une primitive de $h$.

\bigskip
$H'(x)=\dfrac{1}{4}\left[-2\mathrm{e}^{-2x}-2(1-2x)\mathrm{e}^{-2x}\right]+1=\dfrac{1}{4}\left[-2-2+4x\right]\mathrm{e}^{-2x}+1=(x-1)\mathrm{e}^{-2x}+1=h(x)$.\\
Pour tout $x$, $H'(x)=h(x)$ donc $H$ est bien une primitive de $h$.

\label{fin}
\end{document}  