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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spé maths : correction du DM \no  1}}\end{center}


%\bigskip
%
%\begin{center}
%\emph{\og{}Tout l'univers repose sur l'ensemble des entiers naturels.\fg{} \\(Pythagore (569 avant J.C. -vers 500 avant J.C.))}
%\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Résoudre les équations et inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $9x^2+4x+5=0$.\\
$\Delta=4^2-4\times 9\times 5=16-180<0$ ; $\Delta<0$ donc cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\bigskip

\item $2x^2+28x=15\Leftrightarrow 2x^2+28x-15=0$\\
$\Delta=28^2-4\times 2\times (-15)=784+120=904>0$.\\
$\Delta>0$ donc cette équation a deux solutions réelles :\\
$x_1=\dfrac{-28-\sqrt{904}}{4}=\dfrac{-28-\sqrt{4\times 226}}{4}=\dfrac{-28-2\sqrt{226}}{4}\\=\dfrac{-14-\sqrt{226}}{2}$.\\
$x_2=\dfrac{-14+\sqrt{226}}{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-14-\sqrt{226}}{2}~;~\dfrac{-14+\sqrt{226}}{2}\right\}}}$.

\bigskip

\item $x^2+2x+3<0$\\
$\Delta=2^2-4\times 1\times 3=4-12=-8<0$.\\
$\Delta<0$ donc le trinôme du second degré est du signe du coefficient de $x^2$ pour tout $x$, donc positif.\\
L'inéquation n'a donc pas de solution (graphiquement, la courbe représentative associée est une parabole, tournée vers la haut, au-dessus de l'axe des abscisses ).\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\bigskip

\item $x^2+x-1\leqslant 0$.\\
$\Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5>0$.\\
Il y a deux racines : $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.\\
On sait qu'un trinôme du second degré qui a deux racines est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe opposé enrre les racines.\\
On a donc le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}&&\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}&&\pI\\
\hline
x^2+x-1&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions est donc :\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}~;~\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right]}}\]
\bigskip

\columnbreak

\item $x^4-6x^2+8=0$.\\
Òn effectue un changement de variable en posant $X=x^2$.\\
Alors : $x^4-6x^2+8=0\Leftrightarrow \begin{cases}X^2-6X+8=0\\X=x^2\end{cases}$.\\
On résout l'équation $X^2-6X+8=0$.\\
$\Delta=4>0$ donc cette équation a deux solutions.\\
$X_1=\dfrac{6-\sqrt{4}}{2}=2$ et $X_2=\dfrac{6+\sqrt{4}}{2}=4$.\\
On résout alors les équations $x^2=X_1$ et $x^2=X_2$.\\
$x^2=2$ a pour solutions $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.\\
$x^2=4$ a pour solutions $-2$ et $2$.\\
L'ensemble des solutions de cette équation est \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-2~;~-\sqrt{2}~;~\sqrt{2}~;~2\}}}.\]
\end{enumerate}

\subsection{}
$\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique de raison $r=3$ et telle que $u_3=5$.\\
%Trouver la valeur de $u_0$ et de $u_{24}$.
On sait que si $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r$, \\
$u_n=u_0+nr$ donc $u_0=u_n-nr$.\\
On en déduit : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=u_3-3r=5-3\times 3=-4$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_0=-4}}$

\item $u_{24}=u_0+24r=-4+24\times 3=68$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{24}=68}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et telle que $u_2=54$ et $u_4=162$.\\

Si $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$, $u_n=u_0q^n$ et \\
$u_n=u_p\times q^{n-p}$.

\begin{enumerate}
\item %Y a-t-il plusieurs valeurs possibles pour $q$ ?
D'après le rappel, on a $u_4=u_2\times q^2$ donc \\
$q^2=\dfrac{u_4}{u_2}=\dfrac{162}{54}=3$.\\
On a : $q^2=3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{q=-\sqrt{3}}}$ ou $\boxed{\textcolor{red}{q=\sqrt{3}}}$.\\
Il y a donc deux suites possibles, l'une de raison $-\sqrt{3}$ et l'autre de raison $\sqrt{3}$.

\item %Calculer $u_0$.
$u_2=u_0q^2$ donc $u_0=\dfrac{u_2}{q^2}=\dfrac{54}{3}=18$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_0=18}}$
\end{enumerate}

\subsection{}

$\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique de raison 6 telle que \\
$u_0 = 7$.\\
$\left(v_n\right)$ est la suite définie pour tout nombre $n$ de $\mathbb{N}$. par \\
$v_n = 5u_n - 1$.\\
%Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique. 
$\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $r=6$ donc $u_ {n+1}=u_n+r$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_ {n+1}=5u_ {n+1}-1=5\left(u_n+r\right)-1\\
=5u_n+5r-1=5u_n-1+5r=v_n+5r$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_ {n+1}=v_n+5r}}$.\\
On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}}, de raison $\boxed{\textcolor{red}{5r}}$.\\
On remarque que la valeur de $u_0$ ne joue aucun rôle !\\
Le calcul de quelques termes ne suffit pas à montrer une propriété générale !

\subsection{}

$\left(u_n\right)$ est la suite de nombres réels strictement positifs définie par $u_0 = 2$ et pour tout nombre $n\in\mathbb{N}$, 
\[u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}.\]
$\left(v_n\right)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n =\dfrac{1}{u_n}$.

\begin{enumerate}[a)]

\item %Démontrer, par récurrence, que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs.\\
Soit la propriété $P(n)$ : $u_n>0$.\\
Démontrons cette propriété par \textbf{\textcolor{red}{récurrence}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{initialisation}} : on a $u_0=2>0$ donc $P(0)$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : supposons que $P(n)$ soit vraie pour $n$ quelconque, donc $u_n>0$\\
Alors $u_ {n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+1}>0$ car $u_n>0$ d'après l'hypothèse de récurrence et $u_n+1>1>0$ d'après la même hypothèse.\\
La propriété $P(n)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, $u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

%Expliquer alors pourquoi les termes $v_n$ sont définis pour tout $n$.
Puisque $u_n>0$, $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ est défini puisqu'on calcule el'inverse d'un nombre non nul.

\item %Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ puis $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$.
On a : $u_1=\dfrac{u_0}{u_0+1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}}$ ; $u_2=\dfrac{u_1}{u_1+1}=\dfrac{\frac23}{\frac23+1}=\dfrac{\frac23}{\frac53}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}}}$ ; $u_3=\dfrac{\frac25}{\frac25+1}=\dfrac{\frac25}{\frac75}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{7}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_4=\dfrac{2}{9}}}$\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{v_1=\dfrac{3}{2}}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{v_2=\dfrac{5}{2}}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{v_3=\dfrac{7}{2}}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{v_4=\dfrac{9}{2}}}$.

\item %Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique. 
Montrons que $\left(v_n\right)$ est arithmétique :\\
pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{\frac{u_n}{u_n+1}}=\dfrac{u_n+1}{u_n}=\dfrac{u_n}{u_n}\\
=\dfrac{1}{u_n}=1+\dfrac{1}{u_n}=1+v_n=v_n+1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=v_n+1}}$.\\
$\left(v_n\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}}, de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=1}}$.\\
Là encore, le calcul des premiers termes ne suffit pas à montrer que la suite est arithmétique ! 

\item %Pour tout nombre $n\in\mathbb{N}$. exprimer : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item %$v_n$ en fonction de $n$ ;
Puisque $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $r=1$, \\
$v_n=v_0+1\times n$ avec $v_0=\dfrac{1}{u_0}=\dfrac{1}{2}$ d'où $v_n=\dfrac{1}{2}+n\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2n+1}{2}}}$.

\item %$u_n$ en fonction de $n$. 
$v_n=\dfrac{1}{u_n}\Leftrightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}$ donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{2}{2n+1}}}$

\end{enumerate}
On peut vérifier que l'on retrouve bien les premiers termes calculés à la première question.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Évaporation }}
En période de sécheresse, une piscine perd chaque semaine un vingtième de son contenu par évaporation. En début de période, elle contient 60 \si{m^3} d'eau. On suppose que la sécheresse dure 8 semaines et que l'on n'ajoute pas d'eau.\\
On note $V_0 = 60$ le volume de départ puis $V_1$, $V_2$, \dots $V_n$ les volumes d'eau de la piscine au bout respectivement, d'une semaine, de deux semaines, \dots , de $n$ semaines. 

\begin{enumerate}[a)]
\item %Calculer $V_1$ et$V_2$.
On a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $V_1=V_0-\dfrac{1}{20}V_0=\left(1-\dfrac{1}{20}\right)V_0=\dfrac{19}{20}V_0=\dfrac{19}{20}\times 60\\
=19\times 3=\boxed{\textcolor{red}{57}}$.

\item $V_2=\dfrac{19}{20}V_1=\dfrac{19}{20}\times 57=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1083}{20}=54,15}}$

\end{enumerate}

\item %Comment calcule-t-on $V_{n+1}$ à partir de $V_n$ ? 
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de $\dfrac{1}{20}$ est $1-\dfrac{1}{20}=\dfrac{19}{20}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{V_{n+1}=\dfrac{19}{20}V_n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item %Quelle est la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ?
On en déduit que la suite $\left(V_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}}, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{19}{20}}}$.

\item %Quel sera le volume d'eau dans la piscine à la fin de la huitième semaine?
Pour tout $n$, $V_n=V_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{60\times \left(\dfrac{19}{20}\right)^n}}$.\\
Alors : $V_8=\boxed{\textcolor{red}{60\times \left(\dfrac{19}{20}\right)^8\approx 39,8 \si{m^3}}}$.\\
Au bout de 8 semaines, il resterait 39,8 \si{m^3} d'eau.

\end{enumerate}

\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  