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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des xercices de démonstration par récurrence}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\begin{cases}u_0=1\\u_ {n+1}=2u_n-5\end{cases}$.
\bigskip

Montrons, par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=5-4\times 2^n$. Notons $P_n$ cette propriété.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : au rang $n=0$, $5-4\times 2^n=5-4\times 2^0=5-4\times 1=5-4=1=u_0$ donc :\\
$\boxed{\textcolor{red}{u_0=5-4\times 2^0}}$ ; $p_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} :\\
On suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, donc $u_n=5-4\times 2^n$ (hypothèse de récurrence).\\
Alors, au rang $n+1$ : $u_{n+1}=2u_n-5$ (par définition de la suite)\\
$=2\left(5-4\times 2^n\right)-5$ (d'après l'hypoth!-èse de récurrence)\\
$=10-2\times \left(4\times 2^n\right)-5=10-4\times 2\times 2^n-5=\boxed{\textcolor{red}{5_4\times 2^{n+1}}}$ ce qu'il fallait démontrer.\\
On a montré que si $p_n$ est vraie, alors $p_{n+1}$ est vraie.\\
La propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, elle est vraie pour tout $n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=5-'\times 2^n}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Extrait du sujet de bac Polynésie juin 2012}}
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 =0$ et pour tout $n\geqslant 0$, $u_{n+1} =3u_n-2n+3$.\\
Démontrons par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant  n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation} :} $u_0=0\geqslant  0$ donc la propriété est vraie au rang $n=0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose la propriété vraie au rang $n$, donc $u_n\geqslant  n$.\\
Alors $u_{n+1}=3u_n-2n+3\geqslant  3n-2n+3\geqslant  n+3\geqslant n+1$ donc la propriété est vraie au rang $n+1$ ; elle est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant n$}}.

\label{fin}
\end{document}  