\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} %\tableofcontents \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur la loi binomiale}}\end{center} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \subsection{} On considère qu'à un concours, un candidat a 20\:\% de chances de réussir.\\ On prend un groupée 25 candidats au hasard. \begin{enumerate} \item %Quelle est la probabilité qu'au moins deux candidats réussissent ? Notons $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de candidats reçus à ce concours.\\ On peut considérer qu'il y a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{B}(25~;~0,2)}}$.\\ \textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : $p(X=k)=\binom{25}{k}\times 0,2^k\times 0,8^{25-k}$.\\ La probabilité qu'au moins deux candidats réussissent est alors $p(X\geqslant 2)$.\\ $p(X\geqslant 2)=p(X=2)+p(X=3)+\cdots+p(X=25)$. C'est trop compliqué à calculer directement. On utilise l'événement contraire.\\ $p(X\geqslant 2)=1-p\left(\overline{X\geqslant 2}\right)=1-p(X<2)=1-p(X\leqslant 1)\\ =1-\left[p(X=0)+pX=1\right]$.\\ On obtient, en utilisant la formule rappelée ci-dessus :\\ $p(X\leqslant 2)=1-\left[\binom{25}{0}\times 0,2^0\times 0,8^25+\binom{25}{1}\times 0,2\times 0,24^{24}\right]\\ =1-\left[0,8^{25}\\ +25\times 0,2\times 0,24^{24}\right]\approx \boxed{\textcolor{red}{0,97}}$\\. On peut aussi effectuer le calcul \textbf{\textcolor{red}{directement à la calculatrice}} :\\ Sur TI : il faut utiliser la fonction BinomFRep :\\ Plus exactement, taper : \text{1-distrib (2nv var) (25,0.2,1) Entrée} \bigskip Sur Casio : \\ 1 - Option (OPTN) STAT(F5) DIST(F3) \\ BINOMIAL(F5) Bpd(F1)1,25,0.2) EXE \item %Quelle est la probabilité qu'au plus deux candidats réussissent ? La probabilité qu'au plus deux candidats réussissent est $p(X\leqslant 2)\approx 0,098$ \item %Quelle est la probabilité que dix candidats réussissent ? La probabilité que dix candidats réussissent est $\boxed{\textcolor{red}{p(X=10)\approx 0,011}}$. \item %Calculer le nombre moyen de candidats qui réussissent sur 25 candidats qui passent le concours. Le nombre moyen de candidats qui réussissent sur 25 candidats qui passent le concours est l'espérance de $X$.\\ Or, $E(X)=np=25\times 0,2=\boxed{\textcolor{red}{5}}$. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Antilles juin 2012}} Un fabricant d'ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65~\% de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication: \begin{itemize} \item à la sortie de la machine A, 8~\% des ampoules présentent un défaut; \item à la sortie de la machine B, 5~\% des ampoules présentent un défaut. \end{itemize} On définit les évènements suivants: \begin{itemize} \item $A$: \og l'ampoule provient de la machine A\fg{}; \item $B$: \og l'ampoule provient de la machine B\fg{}; \item $D$: \og l'ampoule présente un défaut\fg{}. \end{itemize} \begin{enumerate} \item On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d'une journée. \begin{enumerate} \item %Construire un arbre pondéré représentant la situation. Arbre pondéré représentant la situation : \bigskip \begin{center} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $0,65$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $0,08$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $0,92$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{ $0,35$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $0,05$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $0,95$}}} \end{center} \item %Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à \np{0,9305}. On utilise la formule des probabilités totales : $p\left(\overline{D}\right) = p_A\left(\overline{D}\right)\times p(A)+p_B\left(\overline{D}\right)\times p(B)\\ =0,92\times 0,65+0,95\times 0,35\\ =0,598+ \np{0,3325}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,9305}}}$. \item %L'ampoule tirée est sans défaut. \\ Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine A. $p_{\overline{D}}(A)=\dfrac{p\left(A\cap\overline{D}\right)}{p\left(\overline{D}\right)}=\dfrac{0,598}{\numprint{0,9305}}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,64}}$. \end{enumerate} \item On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d'une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à tirages avec remise. %Calculer la probabilité d'obtenir au moins 9 ampoules sans défaut. Notons $N$ le nombre d'ampoules sans défaut. On a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues ; $N$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0,92)$. On sait que $p(X=k)=\binom{10}{k}\numprint{0,92}^k\times (1-\numprint{0,9305})^{10-k}$. $p(N\geqslant 9)=1-p(N\leqslant 8)\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,8121}}}$ (calculé à la calculatrice) \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2012}} %Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reÁus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On choisit au hasard le dossier d'un candidat. %On considère les évènements suivants : %\setlength\parindent{3mm} %\begin{itemize} %\item D : \og{}Le candidat est retenu sur dossier\fg{}, %\item E$_{1}$ : \og{}Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien\fg{}, %\item E$_{2}$ : \og{}Le candidat est recrut?\fg{}. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item %Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}} { \pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}} {\TR{$E_{2}$}\taput{0,25} \TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75} } \TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3} } \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6} } \end{center} \medskip \item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$. \item %On note $F$ l'évènement \og{}Le candidat n'est pas recruté\fg{}. %Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$. Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit : $p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{2}}\right) = 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 0,93$. D'o\`u $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 = 0,07$. On peut directement calculer la probabilité d'être recruté, soit : $p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 = 0,07$. D'o\`u $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 = 0,93$. \end{enumerate} \item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$. %On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. \begin{enumerate} \item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d'être recruté égale à $0,07$. La variable $X$ suit donc une loi binomiale $(\mathcal{B},n=5,\:p=0,07)$. \item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$. On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}0,07^2 \times 0,93^3 = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \np{0,0394} \approx 0,039$ à $10^{-3}$ près \end{enumerate} \item %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ? On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être recruté égale à $0,07$. La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : \\ $\binom{0}{n}\times 0,07^0 \times 0,93^n = 0,93^n$. La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $1 - 0,93^n$.\\ Deux possibilités : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item À la calculatrice, en utilisant la fonction $f: : x\mapsto 1-0,93^x$ et en faisant varier $x$ par pas de 1 (ou d'abord par pas de 5, puis en affinant par pas de 1\dots)\\ On trouve $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 96}}$ \item On peut résoudre l'inéquation à laide d ela fonction logarithme népérien $\ln$, mais pas encore étudiée : $1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$ \:(par croissance de la fonction ln) $\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ car $\ln 0,93 < 0$. Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx 95,1$. Il faut donc traiter \textbf{\textcolor{red}{au moins 96}} dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Métropole juin 2011}} \textbf{\textcolor{red}{PARTIE A}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, on a : $P(V)0,02~;~P_{V}(T)=0,99~;~P_{\overline{V}}(\overline{T}) = 0,97$. Traduisons la situation par un arbre de probabilités : \begin{center} %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{\small $0,02$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,99$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,01$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{V}$}\tbput{\small $0,98$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0,03$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0,97$} } } \end{center} \item %En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$. $P(V \cap T)=P_{V}(T)\times P(V)=0,99\times 0,02=\np{0,0198}$ \end{enumerate} \item %Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \np{0,0492}. $T=(V\cap T)\cup\left(V\cap\overline{T}\right)$ (réunion d'événements incompatibles).\\ Par conséquent : $P(V)=P(V\cap T)+P\left(V\cap \overline{T}\right)\\ =P_{T}(V)\times p(T)+P_{\overline{V}}(T)\times P\left(\overline{V}\right)$ (formule des probabilités totales).\\ Alors : $P(T)=0,99\times 0,02+0,03\times 0,98=0,0492$. \item \begin{enumerate} \item %Justifier par un calcul la phrase : %\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg. Il faut calculer $P_{T}(V)$. Or : $P_{T}(V)=\dfrac{P(V\cap T)}{P(T)}\\ =\dfrac{\np{0,0198}}{\np{0,0492}}\approx \np{0,4024}$, soit environ 40\%. \\ Il n'y a bien qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg, sachant que le test est positif. \item %Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. La probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif est $P_{(T)}\left(\overline{V}\right)=\dfrac{P\left(\overline{V}\cap\overline{T}\right)}{P(\overline{T})}=\dfrac{0,97\times 0,98}{1-\np{0,0492}}\approx \np{0,9997}$, c'est-à-dire environ 99,97\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{PARTIE B}} \medskip %On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. % %On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. \begin{enumerate} \item %Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. On a répétition de 10 épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10~;~0,02)$.\\ \item %Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Pour tout $k$, ($0\leqslant k\leqslant 10$), on a \\ $P(X = k) = \binom{10}{k}\times 0,02^k\times (1-0,02)^{10-k}$. Alors : $P(X\geqslant 2) = 1 - \left(P(X < 2)\right) \\ = 1- \left[P(X = 0) + P(X = 1)\right] = 1 -\left[0,98^{10} + 10 \times 0,02\times 0,98^9\right]$. $\boxed{\textcolor{red}{P(X\geqslant 2)\approx \np{0,0162}}}$ \end{enumerate} \end{multicols} \label{fin} \end{document}