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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices de bac}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac S Antilles-Guyane juin 2018}}
Le directeur d'une réserve marine a recensé \np{3000} cétacés dans cette réserve au 1\up{er} juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en \og réserve marine\fg{} ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à \np{2000}.

\smallskip

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:
\begin{itemize}
\item entre le 1\up{er} juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
\item entre le 1\up{er} novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5~\% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
\end{itemize}

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1\up{er} juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0=\np{3000}$.
\begin{enumerate}
\item
% Justifier que $u_1=\np{2926}$.
$u_1=\left(u_0+80\right)\times 0,95=0,95\times \np{3080}=\boxed{\textcolor{red}{\np{2926}}}$.

 \item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\np{0,95}u_n+76$.
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\left(u_n+80\right)\times 0,95=\boxed{\textcolor{red}{0,95u_n+76}}$.
 
 \item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{lightgray!50}&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}1&$n$&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\cellcolor{lightgray!50}2&$u_n$&\np{3000}&\np{2926}&\np{2856}&\np{2789}&\np{2725}&\np{2665}&\np{2608}&\np{2553}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
%Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$~?
En C2, on doit taper \og{}=0.95*B2+76\fg{}

\item \begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\np{1520}$.
Montrons par récurrence que, pour tout $n$, $u_n\geqslant\np{1520}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_0=3000\geqslant \np{1520}$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : On suppose que $u_n\geqslant \np{1520}$ pour un entier $n$ quelconque.

Alors : $0,95u_n\geqslant 0,95\times 1520$ d'où $0,95u_n+76\geqslant 0,95\times 1520+76= \np{1520}$ donc la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=0,95u_n+76-u_n=-0,05u_n+76=-0,05\left(u_n-\np{1520}\right)\leqslant 0$ car on a montré que $u_n\geqslant \np{1520}$.

La suite $\left(u_n\right)$ est bien décroissante.

\item %Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minée par \np{1250}, donc convergente (vers une limite $\ell$ avec $\ell\geqslant 1520$).
\end{enumerate}

\item On désigne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-\np{1520}$.
\begin{enumerate}

\item %Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison \np{0,95} dont on précisera le premier terme.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-1520=0,95u_n+76-\np{1520}=0,95u_n-\np{1444}=0,95\left(u_n-\np{1520}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{0,95v_n}}$.

La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-\np{1520}=\np{3000}-\np{1520}\\
=\np{1480}$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}$.
Par conséquent, puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique, $v_n=v_0q^n=\np{1480}\times 0,95^n$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{u_n=\np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}}}$.

\item %Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
$-1<0,95<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,05^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1520}}$.
\end{enumerate}

\newpage


\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à \np{2000}.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow\np{3000}$\\
Tant que \textbf{\textcolor{red}{u>2000}}\\
\phantom{xxxx}$n\leftarrow \textbf{\textcolor{red}{n+1}}$\\
\phantom{xxxx}$u\leftarrow \textbf{\textcolor{red}{0.95*u+76}}$\\
Fin de Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
%La notation \og $\leftarrow$\fg{} correspond à une affectation de valeur, ainsi \og $n\leftarrow 0$\fg{} signifie \og Affecter à $n$ la valeur $0$\fg{}.
\item %La réserve marine fermera-t-elle un jour~? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
On a vu que la limite de la suite est \np{1520} donc il y a une valeur de la suite pour laquelle \\
$u_n<1200$.

À la	 calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=22}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac S : Nouvelle Calédonie mars 2019}}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ à valeurs réelles définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n$,
$ u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n + 8}.$

\medskip 

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Conjectures}}

\medskip 

Les premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ ont été calculées à l'aide d'un tableur dont voici une capture d'écran : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
	&A	&B\\ \hline
1	&$n$&$u_n$\\ \hline
2 	&  0	&   1\\ \hline   
3	&1 	&\np{0,11111111}\\ \hline   
4	&2 	&\np{0,01369863}\\ \hline   
5 	&3 	& \np{0,0017094}\\ \hline   
6 	&4 	&\np{0,00021363}\\ \hline   
7 	&5 	&\np{2,6703}E$-$05\\ \hline   
8 	&6 	&\np{3,3379}E$-$06\\ \hline   
9 	&7 	&\np{4,1723}E$-$07\\ \hline  
10	&8	&\np{5,2154}E$-$08\\ \hline   
11	&9	&\np{6,5193}E$-$09\\ \hline   
12	&10	&\np{8,1491}E$-$10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
   
\begin{enumerate}

\item La formule à entrer dans la cellule \text{B3} et à copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ est
\fbox{\texttt{= B2 / (B2 + 8)}}
 \item %Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
La suite $(u_n)$ semble décroissante.
 \item %Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
La suite $(u_n)$ semble converger vers $0$.
 \item On écrit un algorithme calculant $u_{30}$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|ll|}
\hline
Variables & $i$ entier et $u$ réel\\
 Initialisation & $u$ prend la valeur 1\\
 Traitement & Pour $i$ variant de 1 à 30\\
   & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $\dfrac{u}{u+8}$\hspace*{1cm}\\
   & Fin pour\\
Sortie & Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : Étude générale}}

\medskip 

\begin{enumerate}
 \item On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 0$. 

\begin{list}{\textbullet}{}
 \item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : Pour $n=0$, $u_n=u_0=1>0$; donc la propriété est vraie au rang 0.

 \item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : On suppose la propriété vraie pour un rang $n$ quelconque, c'est-à-dire que $u_n>0$.

$u_{n+1} = \dfrac{u_n}{u_n+8}$

Or $u_n>0$ donc $u_n+8>0$ donc $\dfrac{u_n}{u_n+8} >0$; on a donc démontré que $u_{n+1}>0$.

 \item On a vérifié que la propriété était vraie pour $n=0$. On a démontré que la propriété était héréditaire pour tout $n\geqslant 0$. Donc, d'après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}

On a donc démontré que $u_n>0$ pour tout $n$.

 \item% Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$:
$u_{n+1}-u_n= \dfrac{u_n}{u_n+8} - u_n = u_n\left ( \dfrac{1}{u_n+8} - 1\right )
= u_n\left ( \dfrac{1-u_n-8}{u_n+8}\right )
= \dfrac{u_n \left (-u_n-7\right )}{u_n+8}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{u_n\left(u_n+7\right)}{u_n+8}}}$

Pour tout $n$, on a $u_n>0$ donc $u_n+8>0$ et $u_n+7>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}-u_n<0}}$

La suite $(u_n)$ est donc décroissante. 

 \item La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 0.

Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{convergente}}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Recherche d'une expression du terme général}

\medskip 

On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$,
$v_n = 1 + \dfrac{7}{u_n}.$ 

On en déduit que $v_n-1=\dfrac{7}{u_n}$ donc que $u_n=\dfrac{7}{v_n-1}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
 \item%  Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 8 dont on déterminera le premier terme. 
\begin{list}{\textbullet}{}
 \item $v_{n+1} = 1+\dfrac{7}{u_{n+1}} = 1+\dfrac{7}{\dfrac{u_n}{u_n+8}}
= 1+\dfrac{7\left (u_n+8\right )}{u_n} = 1+ \dfrac{7u_n}{u_n} + \dfrac{7\times 8}{u_n}
= 1+7 + \dfrac{7\times 8}{u_n} = 8\left(1+\dfrac{7}{u_n}\right)=\boxed{\textcolor{red}{8v_n}}$.

  \item $v_0=1+\dfrac{7}{u_0} = 1+\dfrac{7}{1}=8$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=8$ et de premier terme $v_0=8$.
 \item %Justifier que, pour tout entier naturel n, $u_n = \dfrac{7}{8^{n+1} - 1}.$
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 8\times 8^n = 8^{n+1}$.

Or $u_n=\dfrac{7}{v_n-1}$, donc, pour tout $n$, on a $u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}$.

 \item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$
$8>1$ donc $\lim_{n\to +\infty} 8^{n+1}= +\infty$ donc $\lim_{n\to +\infty} \dfrac{7}{8^{n+1}-1}=0$ ce qui veut dire que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\to +\infty} u_n=0}}$.

 \item On cherche dans cette question le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$,\: $u_n < 10^{- 18}$. 

%Justifier l'existence d'un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur. 

On sait que $\lim_{n\to +\infty} u_n=0$; donc, d'après la définition de la limite d'une suite, on peut dire qu'à partir d'un certain rang $n_0$, tous les termes de la suite seront dans l'intervalle $\left ]-10^{-18}~;\, 10^{-18}\right [$. Comme $u_n>0$ pour tout $n$, on peut dire qu'il existe un rang $n_0$ tel que, pour $n >n_0$, on ait $u_n<10^{-18}$.

On résout l'inéquation $u_n<10^{-18}$. ( cela nécessite l'utilisation de la fonction $\ln$ que nous verrons plus tard)

$u_n<10^{-18}
\iff \dfrac{7}{8^{n+1}-1} < 10^{-18}
\iff 7 < 10^{-18}\left (8^{8n+1}-1\right )
\iff 7\times 10^{18} +1< 8^{n+1}\\[5pt]
\phantom{u_n<10^{-18}}
\iff \ln\left (7\times 10^{18} +1\right ) < \ln\left (8^{n+1}\right )
\iff \ln\left (7\times 10^{18} +1\right ) < \left (n+1\right )\ln\left (8\right )\\[5pt]
\phantom{u_n<10^{-18}}
\iff \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} < n+1
\iff n> \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} -1$

Or $n> \dfrac{\ln\left (7\times 10^{18} +1\right )}{\ln(8)} -1 \approx 19,87$ donc c'est à partir de $n_0=20$ que $u_n<10^{-18}$.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  
