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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'exercice centres étrangers groupe 1 sujet 1}}\end{center}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.

On considère les points A$(5~;~0~;~-1)$, B$(1~;~4~;~-1)$, C(1~;~0~;~3), D(5~;~4~;~3) et E(10~;~9~;~8).

\medskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit R le milieu du segment [AB].
		
%Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
$\bullet~~$On a R$(3~;~2~;~-1)$ ;

$\bullet~~$$\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$.
		\item %Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point R et dont $\vec{\text{AB}}$ est un vecteur normal. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan Pl est: $x- y - 1 =0$.
Si $\vec{\text{AB}}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ passant par $R$, on sait qu'une équation de ce plan est : 

$-4\left(x-x_R\right) + 4\left(y-y_R\right) + 0\left(z-z_R\right) =0 \\
\iff - 4x + 4y = -4 \iff \boxed{\textcolor{red}{x - y - 1 = 0}}$. (en simplifiant par -4).

		\item %Démontrer que le point E appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que EA = EB.
On a E$(10~;~9~;~8)$.\\
$x_E - y_E - 1=10-9-1=0 $ donc $\boxed{\textcolor{red}{E\in\mathscr{P}_1}}$.

D'autre part $\vec{\text{EA}}\begin{pmatrix}-5\\-9\\-9\end{pmatrix}$ et 
$\vec{\text{EB}}\begin{pmatrix}-9\\-5\\-9\end{pmatrix}$.

On en déduit : EA$^2 = 25 + 81 + 81 = \boxed{\textcolor{red}{187}}$ et EA$^2 = 81 + 25 + 81 = \boxed{\textcolor{red}{187}}$.

EA$^2 = \text{EB}^2 \Rightarrow \boxed{\textcolor{red}{\text{EA} = \text{EB}}}$.  (Puisque des distances sont des nombres positifs)

	\end{enumerate}
	
\item On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation cartésienne \\
$x - z - 2 = 0$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
On a vu que le plan $\mathcal{P}_1$ a pour vecteur normal $\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$.

Le plan $\mathcal{P}_2$ a pour vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. (coordonnées non proportionnelles), donc $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants.
		\item %On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
		
%Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :

%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x&=&2+t\\
%y&=&1+t \\
%z&=&t\end{array}\right.(t \in \R).\]
Si $M(x~;~y;~z)$ est commun aux deux plans ses coordonnées vérifient les équations des deux plans, donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - y - 1 &=& 0\\
x - z - 2 &=& 0
\end{array}\right.$. \\
En posant $z = t$ le système devient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - y - 1 &=& 0\\
x - z - 2 &=& 0\\
z&=&t
\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
x - 1 &=&y\\
x &=&z + 2\\
z&=&t
\end{array}\right. \\
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 1 &=&y\\
x &=&t + 2\\
z&=&t
\end{array}\right. \iff
\begin{cases}t+2-1=y\\x=t+2\\z=t\end{cases}\\
%$\left\{\begin{array}{l c l}
%t + 2 - 1 &=&y\\
%x &=&t + 2\\
%z&=&t
%\end{array}\right. \\
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&t + 1\\
x &=&t + 2\\
z&=&t
\end{array}\right.$, avec $t \in \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\item  %On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d'équation cartésienne $y + z - 3 = 0$.

\bigskip

%Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.
Si $\Omega(x~;~y~;~z)$ est commun à la droite $\Delta$ et au plan $\mathcal{P}_3$ ses coordonnées vérifient l'équation du plan et les équations paramétriques de la droite, soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&t + 1\\
x &=&t + 2\\
z&=&t\\
y + z - 3&=&0
\end{array}\right.$. \\
En remplaçant $x,\:y,\:z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation du plan on obtient :

$t + 1 + t - 3= 0 \iff 2t - 2 = 0 \iff 2t = 2 \iff \boxed{\textcolor{red}{t = 1}}$.

\bigskip

On a donc $\boxed{\textcolor{red}{\Omega\left(3~;~2~;~1 \right)}}$.


\medskip

Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans $\mathcal{P}_1$,\: $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des
segments [AB], [AC] et [AD].

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $\Omega \text{A} = \Omega \text{B} = \Omega \text{C} = \Omega \text{D}$.
Sans admettre que les plans $\mathcal{P}_1$,\: $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD], on peut calculer :

$\vec{\Omega \text{A}}\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix},\quad \vec{\Omega \text{B}}\begin{pmatrix}-2\\-2\\-2\end{pmatrix}, \quad \vec{\Omega \text{C}}\begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix},\quad \vec{\Omega \text{D}}\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$.

On a donc $\Omega\text{A}^2 = 4 + 4 + 4 = \boxed{\textcolor{red}{12}}, \: \Omega\text{B}^2 = \boxed{\textcolor{red}{12}},\: \Omega\text{C}^2 = \boxed{\textcolor{red}{12}}, \: \Omega\text{D}^2 = \boxed{\textcolor{red}{12}}$ et par conséquent : 

$\boxed{\textcolor{red}{\Omega\text{A} = \Omega\text{B} = \Omega\text{C} = \Omega\text{D} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Sinon}} : il est clair que $\Omega$ est l'intersection des trois points.\\
$\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AB]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\Omega A=\Omega B}}$.\\
De même, $\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AC]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\Omega A=\Omega C}}$.\\
$\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AD]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\Omega A=\Omega D}}$.

\bigskip

\noindent On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\Omega\text{A} = \Omega\text{B} = \Omega\text{C} = \Omega\text{D}}}$.

		\item %En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont
%on précisera le centre et le rayon.

Le résultat précédent montre que $\Omega$ est équidistant de A, B, C et D donc est le centre de la sphère de rayon $2\sqrt{3}$ contenant A, B, C et D.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  