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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille de révisions (2)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Baccalauréat S  Centres étrangers 11 juin 2018 (fonction)}}
Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.

Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé
du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant.

Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minute.

À l'instant $t = 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les
mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au
bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie
pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~20] par :

\[f(t) = (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03.\]\index{fonction exponentielle}

On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].

Ainsi, la valeur $f(0) = 0,23$ traduit le fait que le taux 
de CO$_2$ à l'instant $0$ est égal à 23\,\%.

\begin{center}
\begin{variations}
t&0&&1,75&&20\\
\hline
f'(t)&&+&\z&-&\\
\hline
f(t)&0,23&\c&&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f (20)$.
		\item Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l'expérience.
 	\end{enumerate}
\item  On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5$\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
		\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|X|}\hline
$t \gets 1,75$\\
$p \gets 0,1$\\
$V \gets 0,7$\\
Tant que $V > 0,035$\\
\hspace{0.75cm}$t \gets t + p$\\
\hspace{0.75cm}$V \gets (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		
		
Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'algorithme ?
		
Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
 	\end{enumerate}
\item  On désigne par $V_m$ le taux moyen (en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les $11$
premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~11] par : 
		
		\[F(t) = (-1,6t -3,6)\text{e}^{-0,5t} +0,03t.\]
		
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~11].\index{primitive}
		\item En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~11].\\
		On admet que la valeur moyenne de $f$ sur $[0~;~11]$ est $\dfrac{1}{11-0}\int_0^{11}f(t)\text{ d}t=\dfrac{1}{11}\left(F(11)-F(0)\right)$.\\
Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1$\,\%
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Baccalauréat S  Extrait Centres étrangers 11 juin 2018 (probabilités)}}
Un détaillant en fruits et légumes étudie l'évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir
anticiper ses commandes.


Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que:

\begin{itemize}
\item parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90\,\% d'entre eux achètent un
melon la semaine suivante;
\item parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, 60\,\% d'entre eux n'achè\-tent
pas de melon la semaine suivante.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on
note $A_n$ l'évènement : \og le client achète un melon au cours de la semaine $n$ \fg.

On a ainsi $p\left(A_1\right) = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités
ci-dessous, relatif aux trois premières semaines.\index{probabilité}
		\item Démontrer que $p\left(A_3\right) = 0,85$.
		\item Sachant que le client achète un melon au cours
de la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ?
		
Arrondir au centième.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{$A_1$~}}
{
   \pstree{\TR{$A_2$~}}
      {
      \TR{$A_3$} 
      \TR{$\overline{A_3}$}
      }

   \pstree{\TR{$\overline{A_2}$~} }
     {
     \TR{$A_3$} 
     \TR{$\overline{A_3}$}
     }
}

\end{center}
\medskip
	
Dans la suite, on pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : \:$p_n = P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1 = 1$.

\medskip


\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.\index{suite}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier \\
		$n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
		\item Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.
		\item La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente ?
 	\end{enumerate}
\item On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n - 0,8$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.\index{suite géométrique}
		\item  Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$,\: \[p_n = 0,8 + 0,2 \times  0,5^{n-1}.\]
		\item  Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  