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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat sur les suites}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2018}}
Le directeur d'une réserve marine a recensé \np{3000} cétacés dans cette réserve au 1\up{er} juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en \og réserve marine\fg{} ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à \np{2000}.

\smallskip

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

\begin{itemize}
\item entre le 1\up{er} juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
\item entre le 1\up{er} novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5~\% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
\end{itemize}

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1\up{er} juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0 = \np{3000}$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $u_1 = \np{2926}$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1}=\np{0,95}u_n+76.\]
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
\tiny
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\rowcolor{lightgray!50}		&A		&B			&C&D&E&F&G&H&I\\\hline
\cellcolor{lightgray!50}1	&$n$	&0			&1&2&3&4&5&6&7\\\hline
\cellcolor{lightgray!50}2	&$u_n$	&\np{3000}	&\np{2926}&\np{2856}&\np{2789}&\np{2725}&\np{2665}&\np{2608}&\np{2553}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\normalsize
Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$~?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n \geqslant \np{1520}.\]
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$,\: $v_n=u_n-\np{1520}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0,95} dont on précisera le premier terme.\index{suite géométrique}
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = \np{1480}\times\np{0,95}^n + \np{1520}.\]
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à \np{2000}.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow\np{3000}$\\
Tant que \ldots\\
\phantom{xxxx}$n\leftarrow \ldots$\\
\phantom{xxxx}$u\leftarrow \ldots$\\
Fin de Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
La notation \og $\leftarrow$\fg{} correspond à une affectation de valeur, ainsi \og $n\leftarrow 0$\fg{} signifie \og Affecter à $n$ la valeur $0$\fg.
\item La réserve marine fermera-t-elle un jour~? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Sujet 1 année 2021}}
La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.\]


\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
\end{enumerate}

\medskip

L'extrait, reproduit ci-dessous, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\cellcolor{lightgray}{} 	& \cellcolor{lightgray}A&\cellcolor{lightgray}B \\ \hline
\cellcolor{lightgray}1	&$n$&$u_n$\\ \hline
\cellcolor{lightgray}2 	&0	&1\\ \hline
\cellcolor{lightgray}3 	&1	&1,75\\ \hline
\cellcolor{lightgray}4 	&2	&\np{2,5625}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}5 	&3	&\np{3,421875}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}6 	&4	&\np{4,31640625}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip


\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
		\item En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite 
		$\left(u_n\right)$.
		\item Démontrer que :
		
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\]

	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - n$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  