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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
	\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle sur les suites et limites de suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite. Donner la définition de $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.

\subsection{}
Calculer les limites suivantes : (en justifiant)

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2+1\right)$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n+1}$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-2n\right)$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2n+3}{3n+2}\right)$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{5n+1}{3n^2+1}\right)$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}3\times \dfrac{1-\left(\frac14\right)^n}{1-\frac14}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{VRAI OU FAUX}}
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier, par exemple à l'aide d'un contre-exemple dans le cas ou l'affirmation est fausse.

\begin{enumerate}

\item Toute suite décroisante est majorée.

\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite convergente.\\
Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont
strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est aussi strictement positive.

\item On suppose que, pout tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[-1-\dfrac{1}{n}\leqslant u_n\leqslant 1+\dfrac{1}{n}.\]
Alors la suite $\left(u_n\right)$ converge.

\item Toute suite bornée est convergente.



\item Une suite croissante a tous ses termes strictement positifs à partir d'un certain rang.

%\item Si une suite est décroissante et majorée, alors elle diverge.

%\item Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.

\item Si une suite est croissante et majorée par un nombre réel $\ell$, alors elle converge vers $\ell$.

%\item Si une suite est croissante et non majorée, alors elle diverge.

\item Si une suite est monotone et bornée, alors elle converge.


\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2$.\\

\begin{enumerate}
\item Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que $\left(u_n\right)$ est majorée par 3.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb{N}$, par \[v_n=u_n-3.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

\item En déduire l'expression explicite de $v_n$ en fonction de $n$ puis celle de $u_n$.

\item En déduire la limite de $v_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. (Justifier !)
\end{enumerate}


\end{enumerate}


%\subsection{}
%$\left(u_n\right)$ est une suite telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[u_n>n^2+1.\]
%Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$.

\subsection{}
La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n+1}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{n-1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant 1$.

\item En déduire, en justifiant, la limite de $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}






%\subsection{}
%Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_0 =0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sqrt{3u_n +4}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer par récurrence que: Pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[0\leqslant u_n\leqslant 4.\]
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que : $u_{n+1}^2 -u_n^2 =-\left(u_n +1\right)\left(u_n-4\right)$.
%
%\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. On se justifiera soigneusement.
%\end{enumerate}
%
%\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$. Peut-on dire que $\ell = 4$ ?
%
%\item On admet que la limite $\ell$ vérifie$ \sqrt{3\ell + 4} = \ell$. \\
%Déterminer $\ell$.
%
%\end{enumerate}

\subsection{}
Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, calculer l'expression de $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x)=\dfrac{3x+5}{7x-2}$ sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{2}{7}\right\}$.

\bigskip

\item $f(x)=(3x+5)\sqrt{x}$ sur $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$

\bigskip

\item $f(x)=3x^2+5x+1+2\sqrt{x}$ sur $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\longmapsto (x+1)\sqrt{x}$ et 
$g:x\longmapsto x^3+\frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.


\begin{enumerate}

\item Montrer que le point $C(1~;~2)$ appartient aux deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives de $f$ et de $g$.

\item Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont-elles la même tangente au point $C(1~;~2)$ ?
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  
