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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la fonction exponentielle (2)}}\end{center}

\subsection{}%https://www.maths-cours.fr/exercices/fonction-exponentielle-controle-continu-1ere-2020-sujet-zero
Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.\\
Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe 
$\mathscr{C}_f$   représentative de la fonction $f$  définie sur l'intervalle [-1~;~2]  par : \[f(x)=(-x+2)\mathrm{e}^{x}.\]

\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3,3)
\psframe[fillcolor=gray!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,0)(2,2.71828)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(3,3)

\psline{<->}(-1,-0.3)(2,-0.3)
\psline{<->}(2.3,0)(2.3,2.71828)
\uput[d](0.5,-0.3){$L$}
\uput[r](2.3,1.5){$\ell$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-1}{2}{(2-x)*EXP(x)}

\end{pspicture}
\end{center}
Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $\mathscr{C}_f$. On nomme $L$ la longueur de la plaque rectangulaire et 
$\ell$ sa largeur.\\
On note  $f'$ la fonction dérivée de  $f$ .
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout réel  $x$ de l'intervalle  [- 1~;~ 2],  $f'(x) = ( - x + 1 ) \mathrm{e}^{x}$. 

\item En déduire le tableau de variations de la fonction  $f$  sur  [-1~;~2 ].

\item La longueur  $L$  de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur  $\ell$  exacte en centimètres. 
\end{enumerate}

%\subsection{}
%
%\begin{enumerate}
%\item  Montrer que la suite $\left(u_n\right)$, définie pour tout entier naturel par $u_n=3\mathrm{e}^{4n}$ est une suite géométrique.
%
%\item Donner la définition par récurrence de $\left(u_n\right)$.
%
%\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$, définie par $v_{𝑛+1} =v_n\times  \mathrm{e}$ et $v_0 = 7$ est une suite géométrique.
%
%\item Donner la forme explicite de $v_n$.
%
%\item Calculer $u_1$ et $v_1$.\\
%Que peut-on dire de $u_n$ par rapport à $v_n$ à partir du rang 1 (justifier) ?
%
%\item À l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n > \numprint{56721}$.
%
%\item La suite $\left(u_n\right)$ représente le nombre de molécules d’une certaine espèce au cours d’une réaction chimique.\\
%On cherche à savoir quand elle dépasse 1 mol, c’est-à-dire le nombre d’Avogadro, soit $6,02 x 10^{23}$ molécules.\\
%Écrire un programme donnant ce résultat.

\subsection{}
Soit la fonction $g$, définie sur tous les réels par $g(x) = 1 - x + \mathrm{e}^{x}$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les variations de $g$.

\item Déterminer l’extremum local de $g$, en déduire le signe de $g(x)$.\\
On définit maintenant la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$.

\item Démontrer que pour tout réel $x$, on a : $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}g(x)$.


\item Déduire de la question 4 les variations de $f$.

\item Donner l’équation de la tangente à $\mathscr{C}$ (courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé) au point d’abscisse 0. On note $\mathscr{T}$  cette tangente dans le repère.

\item Étudier la position relative de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{T}$.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  

