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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la fonction exponentielle}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Simplifier l'expression $\dfrac{\left(\mathrm{e}^{-3x}\right)^2\mathrm{e}^{5x}}{\mathrm{e}^{-x}}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Déterminer une expression de la dérivée de la fonction $g:x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2x-3}$, définie et dérivable sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$.

\item Donner le tableau de signes de cette dérivée.

\item En déduire le tableau de variations de g

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f:x\mapsto \mathrm{e}^{x}-x$ .
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.

\item En déduire les variations de $f$.

\item En déduire que $\mathrm{e}^{x}>x$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

\item En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Résoudre les équation et inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x^2-x}=\mathrm{e}^{x+3}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x^2}=\mathrm{e}^{-5}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{4x-2}\geqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x^2+x-6}<1$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^{x}-3=0$ (on pourra poser $X=\mathrm{e}^{x}$).
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'une fonction auxiliaire}}

\begin{enumerate}
\item On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $g : x \mapsto x^2\mathrm{e}^{x} - 1$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une expression de la dérivée de $g$.

\item Donner le tableau de signes de cette dérivée sur $\mathbb{R}$.

\item  En déduire le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.

\item Donner, à l'aide d'un tableau de valeurs, une valeur approchée à 0,1 près de la solution de l’équation $g(x) = 0$.

\item  En déduire le tableau de signes de g(x) sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $f : x \mapsto \mathrm{e}^{x} + \dfrac{1}{x}$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la fonction $f$ n’est pas définie en 0.

\item Déterminer une expression de la dérivée de $f$.

\item Donner le tableau de signes de cette dérivée sur $\mathbb{R}^{*}$.

\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{*}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  