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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille de révisions \no 2}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers juin 2018}}
Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.

Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé
du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant.

Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minute.

À l'instant $t = 0$, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant $20$ minutes. Les
mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO$_2$ contenu dans le local au
bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression $f(t)$, où $f$ est la fonction définie
pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~20] par :

\[f(t) = (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03.\]

On donne ci-contre le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].

Ainsi, la valeur $f(0) = 0,23$ traduit le fait que le taux 
de CO$_2$ à l'instant $0$ est égal à 23\,\%.
%\psset{unit=1.2cm}
%\begin{pspicture}(5,2.5)
%\psframe(5,2.5)\psline(0,1.5)(5,1.5)\psline(0,2)(5,2)\psline(1,0)(1,2.5)
%\uput[u](0.5,1.9){$t$}\uput[u](1.1,1.9){$0$}\uput[u](3,1.9){$1,75$}\uput[u](4.8,1.9){$20$}
%\rput(0.5,1.75){$f'(t)$}\rput(2,1.75){$+$}\rput(3,1.75){$0$}\rput(4,1.75){$-$}
%\rput(0.5,0.75){$f$}\uput[u](1.3,0){\small $0,23$}
%\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.25)\psline{->}(3.5,1.25)(4.5,0.5)
%\end{pspicture}

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1,75&&20\\
\filet
f'(t)&&+&\z&-&\\
\filet
\m{f(t)}&0,23&\c&&\d&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f (20)$.
		$f(20)=16,2\mathrm{e}^{-10}+0,02\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0307}}}$.
		
		\item %Déterminer le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local pendant l'expérience.
		Le taux maximal de CO$_2$ présent dans le local durant l'expérience est $f(1,75)\approx \numprint{0,697}$.
		
		Ce taux ùaxiùal est d'environ 69,7\:\%.
 	\end{enumerate}
	
\item On souhaite que le taux de CO$_2$ dans le local retrouve une valeur $V$ inférieure ou égale à $3,5$\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier qu'il existe un unique instant $T$ satisfaisant cette condition.
		Sur $[1,75~;~20]$ :
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue (somme, produit et composée de fonctions continues)

\item $f(1,75)\approx 0,687>0,035$

\item $f(20)\approx 0,0307<0,035$
\end{enumerate} 
D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}}, l'équation $f(x)=0,035$ a une solution dans l'intervalle $[0~;~20$ ; sur cet intervalle, $f$ est monotone (décroissante) donc cette solution est \textbf{\textcolor{red}{unique}}. On la note $T$.

		\item On considère l'algorithme suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$t \gets 1,75$\\
$p \gets 0,1$\\
$V \gets 0,7$\\
Tant que $V > 0,035$\\
\hspace{0.75cm}$t \gets t + p$\\
\hspace{0.75cm}$V \gets (0,8t + 0,2)\text{e}^{-0,5t} + 0,03$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		
		
%Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'algorithme ?
On fait un tableau de valeurs sur la calculatrice.

On trouve $f(15,65)\approx 0,03508$ et $f(15,75)\approx 0,0349$ donc l'algorithme affiche $\boxed{\textcolor{red}{t=15,75}}$.

Il faut attendre 15 min 45 s pour retrouver un taux de CO$_2$ inférieur à 3,5\:\%.
		
%Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
Cette valeur est la plus petite valeur s'exprimant sous la forme $t=1,75+0,1n$ pour laquelle \\$f(t)<0,035$
 	\end{enumerate}
	
\item On désigne par $V_m$ le taux moyen ( en pourcentage) de CO$_2$ présent dans le local pendant les Il
premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.

	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~11] par : 
		
		\[F(t) = (-1,6t -3,6)\text{e}^{-0,5t} +0,03t.\]
		
%Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~11].

$F'(t)=-1,6\mathrm{e}^{-0,5t}-0,5(-1,6t-3,6)\mathrm{e}^{-0,5t}+0,03=(-1,6-0,8t+1,8)+0,03\\
=\boxed{\textcolor{red}{(0,8t+0,02)\mathrm{e}^{-0,5t}+0,03=f(t)}}$.

$F'=f$ donc $F$ est une \textbf{\textcolor{red}{primitive}} de $f$.

		\item %En déduire le taux moyen $V_m$, valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~11].
%Arrondir le résultat au millième, soit à $0,1$\,\%.
La valeur moyenne de $f$ sur $[0~;~11]$ est $\dfrac{1}{11-0}\int_0^{11}f(t)\text{ d}t=\dfrac{1}{11}\left(F(11)-F(0)\right)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,349}}$.

Le taux moyen de CO$_2$ sur l'intervalle [0~;~11] est d'environ \fbox{\textcolor{red}{34,9\:\%}}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que:

\begin{itemize}
\item parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90\,\% d'entre eux achètent un
melon la semaine suivante;
\item parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, 60\,\% d'entre eux n'achètent
pas de melon la semaine suivante.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on
note $A_n$ l'évènement : \og le client achète un melon au cours de la semaine $n$ \fg.

On a ainsi $p\left(A_1\right) = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Arbre complété :%Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-contre, relatif aux trois premières semaines.

		\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{$A_1$~}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_2$}\taput{ $0,9$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_3$}\taput{ $0,9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A_3}$}\tbput{ $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A_2}$}\tbput{ $0,1$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_3$}\taput{ $0,4$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A_3}$}\tbput{ $0,6$}
}
}


\end{center}
		\item %Démontrer que $p\left(A_3\right) = 0,85$.
		D'après la formule des probabilités totales :
		
		$p\left(A_3\right)=p_{A_2}\left(A_3\right)\times p\left(A_3\right)+p_{\overline{A_2}}\left(A_3\right)\times p\left(\overline{A_2}\right)=0,9\times 0,9+0,4\times 0,1:0,81+0,04=0,85$ : $\boxed{\textcolor{red}{p\left(A_3\right)=0,85}}$

		\item %Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ?
		$p_{A_3}\left(A_2\right)=\dfrac{p\left(A_2\cap A_3\right)}{p\left(A_3\right)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{0,81}{0,85}\approx 0,95}}$.
		
		Sachant que le client achète un melon au cours de la semaine 3, la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 est d'environ 0,95.
	\end{enumerate}

\medskip
	
Dans la suite, on pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : \:$p_n = P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1 = 1$.

\medskip


\item %Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
On peut représenter la situation par un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A_n$}\taput{ $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\taput{ $0,9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{ $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A_n}$}\tbput{ $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A_{n+1}$}\taput{ $0,4$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{ $0,6$}
}
}
\end{center}

On en déduit que :

$p_{n+1}=0,9p_n+0,4\left(1-p_n\right)=0,5p_n+0,4$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p_{n+1}=0,5p_n+0,4}}$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.
		Démontrons par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$ :
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $p_1=1>0,8$ donc la propriété est vraie au rang $1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : supposons la propriété vraie au rang $n$ donc $p_n>0,8$.

Alors : $p_n>0,8\Rightarrow 0,5p_n>0,5\times 0,8=0,4\Rightarrow 0,5p_n+0,4>0,4+0,4=0,8$ donc $p_{n+1}>0,8$.

La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

		\item %Démontrer que la suite (p n) est décroissante.
		Pour tout $n\geqslant 1$, $p_{n+1}-p_n=0,5p_n+0,4-p_n=-0,5p_n+0,4=-0,5\left(p_n-0,8\right)<0$ car d'après la question précédente, $p_n>0,8$.
		
		\item % La suite $\left(p_n\right)$ est-elle convergente ?
		La suite $\left(p_n\right)$ est décroissante et minorée, donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers un réel $\ell\geqslant 0,8$.
		
 	\end{enumerate}
	
\item On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n - 0,8$.
	
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.
Pour tout $n\geqslant 1$, $v_{n+1}=p_{n+1}-0,8:0,5p_n+0,4-0,8=0,5p_n-0,4=0,5\left(p_n-0,8\right)=0,5v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=0,5}}$ et de premier term $v_1=p_1-0,8=\boxed{\textcolor{red}{0,2}}$.

		\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		Puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison 0,5, on a, pour tout $n\geqslant 1$ : 
		$v_n=v_1q^{n-1}=0,2\times 0,5^{n-1}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n\\
		=0,2\times 0,5^{n-1}}}$.
		
%En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$,\: $p_n = 0,8 + 0,2 \times 0,5^{n-1}$.

On en déduit que, pour tout $n\geqslant 1$, $p_n=v_n+0,8=0,2\times 0,5^{n-1}+0,8$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p_n=0,8+0,2\times 0,5^{n-1}}}$.

		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
		Comme $-1<0,5<1$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,5^{n-1}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=0,8}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  