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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur la fonction exponentielle}}\end{center}




\subsection{}
%Simplifier l'expression $\dfrac{\left(\mathrm{e}^{-3x}\right)^2\mathrm{e}^{5x}}{\mathrm{e}^{-x}}$.
$\dfrac{\left(\mathrm{e}^{-3x}\right)^2\mathrm{e}^{5x}}{\mathrm{e}^{-x}}=\dfrac{\mathrm{e}^{-6x}\mathrm{e}^{5x}}{\mathrm{e}^{-x}}=\mathrm{e}^{-6x+5x+x}=\mathrm{e}^{0}=\boxed{\textcolor{red}{1}}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une expression de la dérivée de la fonction $g:x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2x-3}$, définie et dérivable sur \\$\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$.
Soit $g:x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2x-3}$.\\
On dérive $g$ comme un quotient.\\
$g'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}(2x-3)-2\mathrm{e}^{x}}{(2x-3)^2}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}(2x-3-2)}{(2x-3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{(2x-5)\mathrm{e}^{x}}{(2x-3)^2}}}$

\item %Donner le tableau de signes de cette dérivée.
$\mathrm{e}^{x}>0$ et $(2x-3)^2>0$ sur $\mathscr{D}$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x-5$, donc positif pour $x>\dfrac{5}{2}$

\item %En déduire le tableau de variations de g
Tableau de variation de $g$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{2}&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\hline
f'(x)&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&\bb&\d&\dfrac{\mathrm{e}^{\frac52}}{2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f:x\mapsto \mathrm{e}^{x}-x$ .
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$.
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\mathrm{e}^{x}-1}}$

\item %En déduire les variations de $f$.
$f'(x)>0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}>1\Leftrightarrow x>0$ donc $f$ est croissante sur $[0~;~=\infty[$ et décràissante sur $]-\infty~;~0]$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&1&\c\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire que $\mathrm{e}^{x}>x$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
On en déduit que, pour tout $x$, $f(x)\geqslant 1$ donc $f(x)>0$ d'où $\mathrm{e}^{x}-x>0$ qui équivaut à $\mathrm{e}^{x}>x$.

\item %En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}$.
$\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$, donc, par comparaison, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
%Résoudre les équation et inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}>\mathrm{e}^{1}\Leftrightarrow x>1$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]1~;~+\infty[}}$.

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x^2-x}=\mathrm{e}^{x+3}\Leftrightarrow x^2-x=x+3\Leftrightarrow x^2-2x-3=0$.\\
$\Delta=16>0$. Il y a deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~3\}}}$.

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x^2}=\mathrm{e}^{-5}\Leftrightarrow x^2=-5$ qui n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ car $x^2\geqslant 0$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{4x-2}\geqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}\Leftrightarrow \mathrm{e}^{4x-2}\geqslant \mathrm{e}^{-1}\Leftrightarrow 4x-2\geqslant -1\Leftrightarrow 4x\geqslant 1\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{1}{4}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[\dfrac{1}{4}~;~+\infty\right[}}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{x^2+x-6}<1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x^2+x-6}<\mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow x^2+x-6>0$.\\
$\Delta=25>0$ ; deux racines : $x_1=-3$ et $x_2=2$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-3] \cup [2~;~+\infty[}}$

\bigskip

\item $\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^{x}-3=0\Leftrightarrow \begin{cases}X-\mathrm{e}^{x}\\X^2+2X-3=0\end{cases}$.\\
On trouve $X_1=1$ et $X_2=-3$.\\
On résout alors :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $\mathrm{e}^{x}=X_1=1$ ; on trouve $x=0$

\item $\mathrm{e}^{x}=X_2=-3$ qui n'a pas de solution car $\mathrm{e}^{x}>0$.
\end{enumerate}
On en déduit : $\left\vert  \right\vert$
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'une fonction auxiliaire}}

\begin{enumerate}
\item On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $g : x \mapsto x^2\mathrm{e}^{x} - 1$.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer une expression de la dérivée de $g$.
On a : $g'(x)=2x\mathrm{e}^{x}+x^2\times \mathrm{e}^{x}-0=\left(x^2+2x\right)\mathrm{e}^{x}=\boxed{\textcolor{red}{x(x+2)\mathrm{e}^{x}}}$.

\item %Donner le tableau de signes de cette dérivée sur $\mathbb{R}$.
$g'(x)$ est du signe de $x(x+2)$ qui s'annule en -2 et 0, et est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.\\
Tableau de signes de $g'(x)$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&0&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\z&+\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item  %En déduire le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
Tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&0&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\z&+\\
\hline
\m{g(x)}&&\c&\h{4\mathrm{e}^{-2}-1}&\d&-1&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item %Donner, à l'aide d'un tableau de valeurs, une valeur approchée à 0,1 près de la solution de l’équation $g(x) = 0$.
$g(x)=0$ a une seule solution $\alpha$, d'après le tableau de variation ; on trouve, à la calculatrice : $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 0,7}}$.

\item  % déduire le tableau de signes de g(x) sur $\mathbb{R}$.
On en déduit :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $f : x \mapsto \mathrm{e}^{x} + \dfrac{1}{x}$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$.
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi la fonction $f$ n’est pas définie en 0.
$f$ n'est pas définie en 0 car $\dfrac{1}{x}$ n'st pas défini en 0.

\item %Déterminer une expression de la dérivée de $f$.
$f'(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2\mathrm{e}^{x}-1}{x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{g(x)}{x^2}}}$.

\item %Donner le tableau de signes de cette dérivée sur $\mathbb{R}^{*}$.
voir question suivante

\item %En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}^{*}$.
Tableau de variation. (et de signe de $g'$) :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\alpha&&\pI\\
\hline
g'(x)&&-&&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&&\d&&\bb&&\d&\mathrm{e}^{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  