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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2019}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A - Étude d'un modèle discret d'évolution}}

\medskip

%Le groupe de spécialistes en environnement étudie le taux de disponibilité des ressources nécessaires pour le développement de la population de grenouilles autour de l'étang. Ce taux dépend notamment du nombre de grenouilles présentes sur les lieux, de la quantité de nourriture à disposition, de l'espace disponible et de la qualité de l'environnement.
%
%Une étude, menée en 2018 par ce premier groupe de scientifiques, a permis d'estimer le taux de disponibilité des ressources à $0,9$ ; cela signifie que 90\,\% des ressources sont disponibles.
%
%On modélise le taux de disponibilité des ressources par la suite $\left(T_n\right)$ qui, à tout entier naturel $n$, associe le taux de disponibilité des ressources $n$ années après 2018. On a ainsi $T_0 = 0,9$.
%
%Le modèle choisi est tel que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1} = T_n - 0,1T_n^2$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Certains spécialistes en environnement estiment qu'en 2022, le taux de disponibilité des ressources sera proche de $0,4$. Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ?
On a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $T_0 =\boxed{\textcolor{red}{ 0,9}}$

\item $T_1 = T_0 - 0,T_0^2 = 0,9 - 0,1 \times 0,81 = 0,9 - 0,081 = \boxed{\textcolor{red}{0,819}}$ ;

\item $T_2 = T_1 - 0,1 \times T_1^2 = \np{0,751924} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,752}}$ ; 

\item $T_3 = T_2 - 0,1 \times T_2^2 \approx \boxed{\textcolor{red}{0,695}}$ et enfin 

\item $T_4 = T_3 - 0,1 \times T_3^2 \approx \boxed{\textcolor{red}{0,647}}$.

\end{enumerate}
Donc l'estimation de 0,4 est loin du modèle.
\item  %On définit la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1] par $f(x) = x - 0,1x^2$. 

%Ainsi, la suite $\left(T_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$,\; $T_{n+1} = f\left(T_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1].
La fonction polynôme $f$ est dérivable sur [0~;~1] et sur cet intervalle :
		
$f'(x) = 1 - 2\times 0,1x = 1 - 0,2x$.

Or $0\leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant 0,2x \leqslant0,2 \Rightarrow - 0,2 \leqslant - 0,2x \leqslant 0 \Rightarrow 0,8 \leqslant 1 - 0,2x \leqslant 1$, ce qui montre que $f'(x) > 0$ sur [0~;~1] : la fonction $f$ est donc \textbf{\textcolor{blue}{croissante}} sur [0~;~1] de $f(0) = 0$ à $f(1) = 1 - 0,1 = 0,9$.

		\item Montrons,  par récurrence, que pour tout $n$ entier naturel, on a : $0 \leqslant  T_{n+1} \leqslant T_n \leqslant 1$.
		
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \emph{\textcolor{red}{Initialisation}} : on a vu que $0< 0,819 < 0,9 < 1$ ou $0 < T_1 < T_0 < 1$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;

\item \emph{\textcolor{red}{Hérédité}} supposons que pour $n \in \mathbb{N}$, on ait :

$0< T_{n+1} < T_n < 1$. par croissance de la fonction $f$ on a :

$f(0) < f\left(T_{n+1} \right) < f\left(T_n \right) < f(1)$ ou $0 < T_{n+2} < T_{n+1} < 0,9$.

On a donc $0 < T_{n+2} < T_{n+1} < 1$ : l'encadrement  est vrai au rang $n + 1$.
\end{enumerate}

L'encadrement est vrai au rang $0$, et s'il est vrai à un rang $n$ quelconque il est vrai au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence, quel que soit le naturel $n$,\; $0 \leqslant  T_{n+1} \leqslant T_n \leqslant 1$.

		\item %La suite $\left(T_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
La suite $\left(T_n\right)$ est \textbf{\textcolor{blue}{décroissante et minorée}} par $0$, elle est donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers une limite $\ell \geqslant 0$.

\item  %Le groupe de spécialistes en environnement affirme que, selon ce modèle, le taux de disponibilité des ressources peut être inférieur à $0,4$ au cours des vingt premières années qui suivent le début de l'étude et qu'il est capable de déterminer en quelle année, ce seuil serait atteint pour la première fois.
		
%Cette affirmation est-elle conforme au modèle ? Pourquoi ?
La calculatrice donne $T_{14} \approx 0,385$ : les spécialistes ont donc raison. $T_{20} \approx 0,31$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B - Étude d'un modèle continu d'évolution}}

\medskip

%Le groupe de biologistes a choisi une autre option et travaille sur le nombre de grenouilles peuplant l'étang. Au 1\up{er} janvier 2018, il avait été dénombré $250$ grenouilles.
%
%Les biologistes estiment que le nombre de grenouilles présentes autour de l'étang peut être modélisé par la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $P(t) = \dfrac{\np{1000}}{0,4 + 3,6\text{e}^{- 0,5t}}$ où $t$ est le temps, mesuré en années, écoulé depuis le
%1\up{er} janvier 2018 (cette fonction découle d'un modèle continu, usuel en biologie, le modèle de Verhulst).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $P'(t)$ où $P'$ est la fonction dérivée de $P$ puis étudier le signe de $P'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
Sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $P$ quotient de fonctions dérivables et de dénominateur strictement positif,  est dérivable et sur cet intervalle :

$P'(t) = - \dfrac{- 0,5 \times 3,6\text{e}^{- 0,5t}\times \np{1000}}{\left(0,4 + 3,6\text{e}^{- 0,5t} \right)^2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\np{1800}\text{e}^{- 0,5t}}{\left(0,4 + 3,6\text{e}^{- 0,5t} \right)^2}}}$.
\item %Déterminer la limite de la fonction $P$ en $+ \infty$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $P$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 0,5t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}0,4 + 3,6\text{e}^{- 0,5t} = 0,4$ et enfin $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{\np{1000}}{0,4} =\boxed{\textcolor{red}{ \np{2500}}}$.

$P'(t)$ est un quotient de nombres supérieurs à zéro, on a donc $P'(t) > 0$ sur $[0~;~+ \infty[$.

La fonction $P$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $[0~;~+\infty[$ de $P(0) = \dfrac{\np{1000}}{0,4 + 3,6} = \dfrac{\np{1000}}{4} = 250$ à 

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}P(t) = \np{2500}$.

La fonction $P$ est strictement croissante, continue car dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ de 250 à \np{2500}
\item %Montrer qu'il existe une unique valeur $t_0 \in [0~;~+ \infty[$ telle que $P\left(t_0\right) = \np{2000}$. Déterminer cette valeur à $10^{-1}$ près.
D'après le résultat précédent comme $250 < \np{2000} < \np{2500}$, il existe un réél unique  $t_0 \in [0~;~+ \infty[$ tel que $P\left(t_0\right) = \np{2000}$ (d'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}}).

La calculatrice donne : $P(7) \approx \np{1965}$ et $P(8) \approx \np{2146}$, donc $7 < t_0 < 8$ ; puis

$P(7,1) \approx \np{1987}$ et $P(7,2) \approx \np{2007}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{7,1 < t_0 < 7,2}}$.

\item %Selon ce modèle, déterminer au cours de quelle année la population de l'étang aura dépassé pour la première
%fois les 2000 grenouilles.
On a trouvé à la question précédente qu'au bout d'un temps $t_0$ compris entre 7,1 et 7,2 années la population aura atteint les \np{2000} individus, donc durant l'année 2026.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  