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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice  \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun de Spécialité mathématiques de Terminale}}\end{center}

\subsection{}
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. \\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, \textbf{cocher sur le sujet} la bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.}
%
%\medskip
%
%\begin{alterqcm}[long,lq=90mm]

\begin{enumerate}
\item $u_n= 1-\left(\frac{1}{4}\right)^n \hspace{3em} \text{et }\hspace{3em} v_n=1+\left(\frac{1}{4}\right)^n.$

On considère de plus une suite $\left(w_n\right)$ qui, pour tout entier naturel $n$, vérifie $u_n\leqslant w_n\leqslant v_n$.

$-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$.\\
D'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}w_n=1}}$.

\item $\left(v_n\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $v_n=\dfrac{3n}{n+2}$.\\
Pour $n\neq 0$, $v_n=\dfrac{3n}{n\left(1+\frac2n\right)}=\dfrac{3}{1+\frac2n}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{2}{n}=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)=1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=3}}$.

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= x\mathrm{e}^{2x}.$
La dérivée de $x\mapsto \mathrm{e}^{ax+b}$ est $x\mapsto a\mathrm{e}^{ax+b}$ (cours de Première) ou la dérivée de $v\mathrm{e}^{v}$ est $v'\mathrm{e}^{v}$ où $v$ est une fonction dérivable.\\
On en déduit que : $f'(x)=1\mathrm{e}^{2x}+x\times 2\mathrm{e}^{2x}=\boxed{\textcolor{red}{(1+2x)\mathrm{e}^{2x}}}$.

\item Pour $x\neq 0$, $\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}=\dfrac{x^2\left(1-\frac1{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac2x+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac{1-\frac1{x^2}}{2-\frac2x+\frac1{x^2}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{1}{X^2}\right)=1$ ET $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2-\frac2x+\frac1{x^2}\right)=2$, donc, par quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}=\dfrac{1}{2}}}$

\item $g'\leqslant 0$ sur $[1~;~2]$ donc $g$ est décroissante sur $[1~;~2]$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : lecture graphique}}
\begin{enumerate}
\item %Dans le plan muni d’un repère orthonormé, $\mathscr{C}_f$ est la courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels. Dans la figure ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathscr{C}_f$.\\
%Les points $A$ et $B$ sont les points de $\mathscr{C}_f$ d’abscisses respectives -2 et 0, et on a tracé les tangentes à $\mathscr{C}_f$ en ces points.\\
%On suppose que la tangente en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses et que la tangente en $B$ passe par le point $C(1~;~6)$.
%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.\\
%Lire graphiquement les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(0)$. Justifier brièvement.

\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4.5,-1.3)(3,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4.5,-1.3)(3,7.2)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-4.5,-1.3)(3,7.2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4.5}{0.73}{(2*x+2)*EXP(x)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-4.5,-0.27)(3,-0.27)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-0.8}{1.2}{4*x+2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,-0.27)(0,2)(1,6)
\uput[dl](-2,-0.27){$A$}
\uput[r](0,2){$B$}
\uput[r](1,6){$C$}
\uput[l](0.6,5.83){\textcolor{blue}{$\boldmath{\mathscr{C}_f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}}
\hfill
\parbox{10cm}{\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(-2)=0$ (tangente parallèle à l'axe des abscisses)

\item $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite (BC) ; $f'(0)=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{6-2}{1-0}=4$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(0)=4}}$
\end{enumerate}
}
\textbf{\textcolor{blue}{Partie B : Calcul algébrique}}

\bigskip

La fonction représentée sur le graphique précédent est la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par : $f(x)=\mathrm{e}^{x}(2x+2)$.\\
On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

\item  %Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\mathrm{e}^{x}(2x+4)$.
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=\mathrm{e}^{x}\\v(x)=2x+2\end{cases}$.\\
$f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=\mathrm{e}^{x}\\v'(x)2\end{cases}$.\\
Aklors : $f'(x)=\mathrm{e}^{x}(2x+5)+2\mathrm{e}^{x}=(2x+2+2)\mathrm{e}^{x}=\boxed{\textcolor{red}{(2x+4)\mathrm{e}^{x}}}$.

\item %Étudier le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis en déduire le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Pour tout $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x+4=2(x+2)$, qui s'annule en -2 et est positif pour $x\geqslant -2$.\\
On en déduit le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&-2\mathrm{e}^{-2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Déterminer par le calcul, l’équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse 0.
Tangente au point d'abscisse 0 :\\
$f'(0)=4$ et $f(0)=2$ ; la tangente a donc pour équation $y=f'(0)\left(x-0\right)+f(0)$ donc $y=4x+2$

\item %Justifier par le calcul les deux résultats suivants admis au début de l’exercice :
\begin{itemize}

\item  %La tangente en $A$ est parallèle à l'axe des abscisses.
En remplaçant $x$ par -2, on a $f'(-2)=0$, donc la tangente en 2 est bien parallèle à l'axe des abscisses.

\item  %La tangente en $B$ passe par le point $C(1~;~6)$. 
L'équation de la tangente en B est $y=4x+2$ ; pour $x=1$, on trouve $y=4+2=6$ donc cette tangente passe bien par $C(1~;~6)$.
\end{itemize}
\end{enumerate}



\subsection{}

On s'intéresse à la gestion des déchets ménagers au sein d'une grande agglomération.

Grâce au développement du recyclage, les experts estiment que la quantité de déchets de l'agglomération à incinérer devrait diminuer de 5\,\% par an. Par ailleurs, suite à la signature d'un contrat, cette agglomération s'engage à partir du 1\up{er} janvier 2020 à collecter et incinérer \np{12000}~tonnes de déchets supplémentaires par an provenant d'une commune voisine. 

Durant l'année 2019, l'agglomération a incinéré \np{300000} tonnes de déchets.

On admet que la situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ donne, pour tout entier naturel $n$, une estimation de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés durant l'année $2019 + n$. On a ainsi $u_0 = 300$.

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $u_1$.
Le coefficient multiplicatreur associé à une baisse de 5\:\% est $1-\dfrac{5}{100}=0,95$.\\
Par conséquent : $u_1=0,95u_0+12=0,95\times 300+12=297$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_1=297}}$.

\item %Justifier, pour tout entier naturel $n$, que $u_{n+1} = 0,95u_n + 12$.
De même : $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,95u_n+12}}$ (quasi évident, en généralisant le calcul précédent !)
	\end{enumerate}
	
\item \begin{enumerate}

\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $200\leq u_{n+1} \leq u_n$.
Soit $\mathscr{P}_n$ la propriété : $200\leq u_{n+1} \leq u_n$.\\
Démontrons cette propriété par récurrence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_0=300$ et $u_1=297$ donc $200\leqslant u_1\leqslant u_0$ ; $\mathscr{P}_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{hérédité}} : on suppose $\mathscr{P}n$ vraie pour un entier $n$ quelconque (hypothèse de récurrence).\\
$200\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\Rightarrow 0,95\times 200\leqslant 0,95u_{n+1}\leqslant 0,95u_n\\
\Rightarrow 0,95\times 200+12\leqslant 0,95u_{n+1}+12\leqslant 0,95u_n+12\Rightarrow 202\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\Rightarrow200\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}$.\\
$\mathscr{P}_n$ est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence $\mathscr{P}_n$ est vraie pour tout $n$.

 \item %La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Justifier.
D'après ce qu'on vient de montrer,  $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n$, donc $\left(u_n\right)$ est décroissante.\\
De même, $200\leqslant u_n$ pour tout $n$, donc $\left(u_n\right)$ est minorée.\\
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante minorée, donc elle est convergente.

\end{enumerate}

\item %On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 240$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme $v_0$.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-240=0,95u_n+12-240=0,95u_n-228=0,95\left(u_n-\dfrac{228}{0,95}\right)\\
=0,05\left(u_n-240\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,95n_n}}$.\\
$v_{n+1}=0,95v_n$ pour tout $n$, donc $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=0,95}}$.\\
$v_0=u_0-240=300-240=60$ ; $\boxed{\textcolor{red}{v_0=60}}$.

		\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		Puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique de réison $q=0,95$, $v_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{60\times 0,95^n}}$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.
		
		\item %En déduire, pour tout entier naturel $n$, que $u_n = 60 \times 0,95^n + 240$.
$v_n=u_n-240$ donc $u_n=v_n+240$ donc, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n= 60 \times 0,95^n + 240}}$.
	\end{enumerate}
	
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
$-1<0,95<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,95^n=0$.\\
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=240}}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation}} : la quatité de déchets à traiter va se stabiliser à terme à une quantité de \numprint{240000} tonnes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

L'agglomération s'est fixé l'objectif d'une diminution de la quantité de déchets incinérés de 15\,\% d'ici 2039 par rapport à 2019.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que cet objectif ne sera pas atteint si la diminution des déchets suit les prévisions des experts.
Si la diminution des déchets suit les prévisions des experts, le tonnage des déchets recyclés sera en 2039, soit pour $n=20$ de $u_{20}$ milliers de tonnes.

$u_{20} = 60\times 0,95^{20}+240 \approx 261,509$; donc le tonnage en 2039 est d'environ \np{261509}~tonnes.

On veut une baisse de 15\,\% par rapport à 2019, soit un tonnage de
$\np{300000}\left (1-\dfrac{15}{100}\right )=\np{255000}$ tonnes.

L'objectif ne sera donc pas atteint.

		\item 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le programme écrit ci-dessous en Python afin qu'il affiche, après exécution, l'année à partir de laquelle la quantité de déchets incinérés aura diminué de 15\,\% par rapport à 2019.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil():\\
\qquad $N = 2019$\\
\qquad $U = 300$\\
\qquad while $U >255$:\\
\qquad\qquad $N = N+1$\\
\qquad\qquad $U = 0.95\times U+12$\\
\qquad return N\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
		\item %En quelle année l'objectif sera-t-il atteint?
		$u_{27}\approx 255,02 > 255$ et $u_{28}\approx 254,27 \leqslant 255$ donc l'objectif sera atteint en $2019+28$ soit en 2047.		
\end{enumerate}

	\end{enumerate}






\label{fin}
\end{document}  