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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
	\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle sur les suites et limites de suites}}\end{center}


\subsection{}
%Soit $\left(u_n\right)$ une suite. Donner la définition de $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.
$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ signifie que pour tout $A\in\mathbb{R}$, il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $u_n>A$ pour tout $n>n_0$.

\subsection{}
Calculer les limites suivantes : (en justifiant)

\begin{enumerate}[a)]
\item $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2+1\right)=+\infty}}$ car $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty$ et $n^2+1>n^2$ (théorème de comparaison).

\item $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n+1}=0}}$.

\item Étude de $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-2n\right)$ ; on a une \textbf{\textcolor{red}{forme indéterminée}}.\\
$n^2-2n=n(n-2)$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(n-2)=+\infty$ donc par produit, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-2n\right)=+\infty}}$.\\
On peut aussi mettre $n^2$ en facteur :$n^2-2n=n^2\left(1-\frac2n\right)$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-\frac2n\right)=1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-2n\right)=+\infty}}$ par produit.

\item %$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2n+3}{3n+2}\right)$
$\dfrac{2n+3}{3n+2}=\dfrac{n\left(2+\frac3n\right)}{n\left(3+\frac2n\right)}=\dfrac{2+\frac3n}{3+\frac2n}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2+\frac3n\right)=2$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3+\frac2n\right)=3$ d'om :
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2n+3}{3n+2}\right)=\dfrac{2}{3}}}$.

\item $\dfrac{5n+1}{3n^2+1}=\dfrac{n\left(5+\frac1n\right)}{n^2\left(3+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{5+\frac1n}{n\left(3+\frac1{n^2}\right)}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(5+\dfrac{1}{n}\right)=5$ ; $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3+\frac1{n^2}\right)=3$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}n\left(3+\frac1{n^2}\right)=+\infty$.\\
Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{5n+1}{3n^2+1}\right)=0}}$

\item %$\lim_{n\rightarrow +\infty}3\times \dfrac{1-\left(\frac14\right)^n}{1-\frac14}$
$-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$.\\
On en déduit : $\lim_{n\rightarrow +\infty}3\times \dfrac{1-\left(\frac14\right)^n}{1-\frac14}=3\times \dfrac{1}{\frac34}=\boxed{\textcolor{red}{4}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{VRAI OU FAUX}}
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier, par exemple à l'aide d'un contre-exemple dans le cas ou l'affirmation est fausse.

\begin{enumerate}

\item Toute suite décroisante est majorée. \\
\fbox{\textcolor{red}{VRAI}} ; elle est majorée par son premier terme.

\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite convergente.\\
Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont
strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est aussi strictement positive.\\
\fbox{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=\dfrac{1}{n+1}$. tous les termes sont positifs, mais la limite est 0.

\newpage


\item On suppose que, pout tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[-1-\dfrac{1}{n}\leqslant u_n\leqslant 1+\dfrac{1}{n}.\]
Alors la suite $\left(u_n\right)$ converge.\\
\fbox{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=(-1)^n$ ;  cette suite diverge et tous les termes sont compris entre -1 et 1, donc entre $-1-\dfrac{1}{n}$ et $1+\dfrac{1}{n}$.

\item Toute suite bornée est convergente.\\
\fbox{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=(-1)^n$ qui vaut alternativement -1 ou 1, donc on a une suite bornée mais divergente.


\item Une suite croissante a tous ses termes strictement positifs à partir d'un certain rang.\\
\fbox{\textcolor{red}{FAUX}} : contre-exemple : $u_n=-\dfrac{1}{n+1}$ ; $\left(u_n\right)$ est croissante mais constamment négative.

\item Si une suite est croissante et majorée par un nombre réel $\ell$, alors elle converge vers $\ell$.\\
\fbox{\textcolor{red}{FAUX}} : elle converge mais pas forcément vers $\ell$ ! contre-exemple : $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}$.\\
$\left(u_n\right)$ est croissante, majorée par $\ell=3$ mais tend vers 1.


\item Si une suite est monotone et bornée, alors elle converge.\\
\fbox{\textcolor{red}{VRAI}} : elle est croissante majorée ou décroissante minorée donc convergente

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2$.\\

\begin{enumerate}
\item %Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que $\left(u_n\right)$ est majorée par 3.
Soit $\mathscr{P}_n$ la propriété : $\boxed{\textcolor{red}{u_n\leqslant 3}}$.\\
Effectuons une démonstration par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_0=1\leqslant 3$ donc $\mathscr{P}0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $\mathscr{P}_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $u_n\leqslant 3$ (hypoithèse de récurrence).\\
$u_n\leqslant 3\Rightarrow \dfrac{1}{3}u_n\leqslant 1\Rightarrow \dfrac{1}{3}u_n+2\leqslant 3$ donc $\mathscr{P}_{n+1}$ est vraie.\\
$\mathscr{P}_n$ est héréditaire?
\end{enumerate}

D'après l'axiome de récurrence, $\mathscr{P}_n$ est vraie pour tout $n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n\leqslant 3}}$.

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb{N}$, par $v_n=u_n-3.$
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac{1}{3}u_n+2-3=\dfrac{1}{3}u_n-1=\dfrac{1}{3}\left(u_n-3\right)=\dfrac{1}{3}v_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n}}$.\\
$\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{1}{3}}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{v_0=u_0-3=1-3=-2}}$.

\item %En déduire l'expression explicite de $v_n$ en fonction de $n$ puis celle de $u_n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On en déduit que, pour tout $n$, $v_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}}$.

\item Pour tout $n$, $v_n=u_n-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=3+v_n=3-2\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}}$.
\end{enumerate}

\item %En déduire la limite de $v_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. (Justifier !)
$-1<\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=3}}$
\end{enumerate}


\end{enumerate}


%\subsection{}
%$\left(u_n\right)$ est une suite telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[u_n>n^2+1.\]
%Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$.

\subsection{}
La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n+1}$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{n-1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant 1$.
POur tout $n\in\mathbb{N}$, $-1\leqslant (-1)^n\leqslant 1$ donc $n-1\leqslant n+(-1)^n\leqslant n+1$.\\
En divisant par $n+1>0$ : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{n-1}{n+1}\leqslant \dfrac{n+(-1)^n}{n+1}\leqslant 1}}$.

\item %En déduire, en justifiant, la limite de $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
$\dfrac{n-1}{n+1}=\dfrac{n\left(1-\frac1n\right)}{n\left(1+\frac1n\right)}=\dfrac{1-\frac1n}{1+\frac1n}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-\frac1n\right)=1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac1n\right)=1$ d'où $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1-\frac1n}{1+\frac1n}=1$.\\
D'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1}}$.
\end{enumerate}





\subsection{}
Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, calculer l'expression de $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(x)=\dfrac{3x+5}{7x-2}$ sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{2}{7}\right\}$.\\
$f'(x)=\dfrac{3(7x-2)-7(3x+5)}{(7x-2)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{41}{(7x-2)^2}}}$.

\bigskip

\item $f(x)=(3x+5)\sqrt{x}$ sur $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$.\\
$f'(x)=3\sqrt{x}=(3x+5)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+3x+5}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9x+5}{2\sqrt{x}}}}$.

\bigskip

\item $f(x)=3x^2+5x+1+2\sqrt{x}$ sur $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$.\\
$f'(x)6x+5+2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{6x+5+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions $f:x\longmapsto (x+1)\sqrt{x}$ et 
$g:x\longmapsto x^3+\frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.


\begin{enumerate}

\item %Montrer que le point $C(1~;~2)$ appartient aux deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentatives de $f$ et de $g$.
$f(1)=g(1)=2$ donc  le point $C(1~;~2)$ appartient aux deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$. 

\item %Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ont-elles la même tangente au point $C(1~;~2)$ ?
$f'(x)=\sqrt{x}=(x+1)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3x+1}{2\sqrt{x}}$ d'où $f'(1)=2$.\\`
$g'(x)=3x^2-\dfrac{1}{x^2}$ donc $g'(1)=2$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{f(1)=g(1)}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=g'(1)}}$ donc les deux courbes ont la même tangente en C (même coefficient directeur et un point commun).
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  
