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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la fonction exponentielle (2)}}\end{center}

\subsection{}%https://www.maths-cours.fr/exercices/fonction-exponentielle-controle-continu-1ere-2020-sujet-zero
Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.\\
Dans un repère orthonormé d'unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe 
$\mathscr{C}_f$   représentative de la fonction $f$  définie sur l'intervalle [-1~;~2]  par : \[f(x)=(-x+2)\mathrm{e}^{x}.\]

\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(3,3)
\psframe[fillcolor=gray!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,0)(2,2.71828)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(3,3)

\psline{<->}(-1,-0.3)(2,-0.3)
\psline{<->}(2.3,0)(2.3,2.71828)
\uput[d](0.5,-0.3){$L$}
\uput[r](2.3,1.5){$\ell$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-1}{2}{(2-x)*EXP(x)}

\end{pspicture}
\end{center}
Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $\mathscr{C}_f$. On nomme $L$ la longueur de la plaque rectangulaire et 
$\ell$ sa largeur.\\
On note  $f'$ la fonction dérivée de  $f$ .
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que pour tout réel  $x$ de l'intervalle  [- 1~;~ 2],  $f'(x) = ( - x + 1 ) \mathrm{e}^{x}$. 
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=-x+2\\v(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
$f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=-1\\v'(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
D'où : $f'(x)=-\mathrm{e}^{x}=(-x+2)\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}(-1+(2-x))=\boxed{\textcolor{red}{(-x+1)\mathrm{e}^{x}}}$

\item %En déduire le tableau de variations de la fonction  $f$  sur  [-1~;~2 ].
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x+1$, qui s'annule en 1 et est positif pour $x\leqslant 1$ (car la fonction $x\mapsto -x+1$ est décroissante).\\
On en déduit le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-1&&1&&2\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&3\mathrm{e}^{-1}&\c&\mathrm{e}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %La longueur  $L$  de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur  $\ell$  exacte en centimètres. 
$f$ a un maximum, $\mathrm{e}$, atteint en 1.\\
Puisque la plaque est tangente à la courbe, on a $\ell=2$ u.l, donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell=30\mathrm{e}\text{~cm}}}$
\end{enumerate}


\newpage



\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soit la fonction $g$, définie sur tous les réels par $g(x) = 1 - x + \mathrm{e}^{x}$.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer les variations de $g$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables.\\
$\boxed{\textcolor{red}{g'(x)=-x+\mathrm{e}^{x}}}$.

\item $g'(x)=0\Leftrightarrow x=0$.

\item $g'(x)>0\Leftrightarrow -1+\mathrm{e}^{x}>0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}>1\Leftrightarrow x>0$

\item Taableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
g'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{g(x)}&&\d&2&\c\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\item %Déterminer l’extremum local de $g$, en déduire le signe de $g(x)$.\\
$g$ a pour minimum 2 en 0 ; on en déduit que $g(x)>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

\bigskip

On définit maintenant la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$.

\item %Démontrer que pour tout réel $x$, on a : $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}g(x)$.
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=1+0+\dfrac{1\times \mathrm{e}^{x}-x\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}\\
=1+\dfrac{(1-x)\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}=1+(1-x)\mathrm{e}^{-x}=\left(\mathrm{e}^{x}+1-x\right)\mathrm{e}^{-x}\\=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-x}g(x)}}$\\
 car $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}=\mathrm{e}^{-x}$.


\item %Déduire de la question 4 les variations de $f$.
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$, donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)>0}}$ sur $\mathbb{R}$.\\
$f$ est donc \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur $\mathbb{R}$

\item %Donner l’équation de la tangente à $\mathscr{C}$ (courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé) au point d’abscisse 0. On note $\mathscr{T}$  cette tangente dans le repère.
La tangente en $a$ a pour équation réduite : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
Pour $a=0$, on obtient : $y=f'(0)x+f(0)\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=2x+2}}$.\\
La tangente $\mathscr{T}$ en 0 a donc pour équation $\boxed{\textcolor{red}{y=2x+1}}$.

\item %Étudier la position relative de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{T}$.
Pour étudier la position relative de $\mathscr{C}$ et $\mathscr{T}$, on étudie le signe de $f(x)=(2x+2)$.\\
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)-(2x+2)=x+1+\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}-2x-1\\
=-x+\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{-x\mathrm{e}^{x}+x}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)}{\mathrm{e}^{x}}$ qui est du signe de $x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)$.\\
$x$ s'annule en 0 et $\mathrm{e}^{x}-1$ aussi avec \\
$\mathrm{e}^{x}-1>0\Leftrightarrow x>0$.\\
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x&&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }\mathrm{e}^{x}-1&&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)&&+&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On en déduit que $\mathscr{C}$ est toujours au-dessus de $\mathscr{T}$, avec point de tangence en 0.

\bigskip

Couirbe (non demandée)
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-8)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-8)(3,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-8)(3,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.5}{3}{x+1+x/EXP(x)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2}{3}{2*x+1}
\uput[d](3,4){$\mathscr{C}$}
\uput[ul](1,3){$\mathscr{T}$}
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,1)
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  

