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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2018}}
Le directeur d'une réserve marine a recensé \np{3000} cétacés dans cette réserve au 1\up{er} juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en \og réserve marine\fg{} ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à \np{2000}.

\smallskip

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:
\begin{itemize}
\item entre le 1\up{er} juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
\item entre le 1\up{er} novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5~\% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
\end{itemize}

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1\up{er} juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0=\np{3000}$.
\begin{enumerate}
\item
% Justifier que $u_1=\np{2926}$.
$u_1=\left(u_0+80\right)\times 0,95=0,95\times \np{3080}=\boxed{\textcolor{red}{\np{2926}}}$.

 \item %Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\np{0,95}u_n+76$.
 Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\left(u_n+80\right)\times 0,95=\boxed{\textcolor{red}{0,95u_n+76}}$.
 
 \item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{orange!20}&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}1&$n$&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}2&$u_n$&\np{3000}&\np{2926}&\np{2856}&\np{2789}&\np{2725}&\np{2665}&\np{2608}&\np{2553}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

%Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$~?
En C2, on doit taper \fbox{\textcolor{red}{\og{}=0.95*B2+76\fg{}}}

\item \begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant\np{1520}$.
Montrons par récurrence que, pour tout $n$, \\
$u_n\geqslant\np{1520}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $u_0=3000\geqslant \np{1520}$ donc la propriété est vraie au rang 0.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : On suppose que $u_n\geqslant \np{1520}$ pour un entier $n$ quelconque.

Alors : $0,95u_n\geqslant 0,95\times 1520$ d'où $0,95u_n+76\geqslant 0,95\times 1520+76= \np{1520}$ donc la propriété est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$.

\item %Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=0,95u_n+76-u_n=-0,05u_n+76=-0,05\left(u_n-\np{1520}\right)\leqslant 0$ car on a montré que $u_n\geqslant \np{1520}$.

La suite $\left(u_n\right)$ est bien \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item %Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minée par \np{1250}, donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}}, mais on ne connaît pas la limite $\ell$.
\end{enumerate}

\item On désigne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-\np{1520}$.
\begin{enumerate}

\item %Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison \np{0,95} dont on précisera le premier terme.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-1520=0,95u_n+76-\np{1520}=0,95u_n-\np{1444}=0,95\left(u_n-\np{1520}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{0,95v_n}}$.

La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $q=0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-\np{1520}=\np{3000}-\np{1520}\\
=\np{1480}$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}$.
Par conséquent, puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique, $v_n=v_0q^n=\np{1480}\times 0,95^n$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{u_n=\np{1480}\times\np{0,95}^n+\np{1520}}}$.

\item %Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
$-1<0,95<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,05^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1520}}$.
\end{enumerate}

\newpage

\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à \np{2000}.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow\np{3000}$\\
Tant que \textbf{\textcolor{red}{u>2000}}\\
\phantom{xxxx}$n\leftarrow \textbf{\textcolor{red}{n+1}}$\\
\phantom{xxxx}$u\leftarrow \textbf{\textcolor{red}{0.95*u+76}}$\\
Fin de Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
%La notation \og $\leftarrow$\fg{} correspond à une affectation de valeur, ainsi \og $n\leftarrow 0$\fg{} signifie \og Affecter à $n$ la valeur $0$\fg{}.
\item %La réserve marine fermera-t-elle un jour~? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
On a vu que la limite de la suite est \np{1520} donc il y a une valeur de la suite pour laquelle \\
$u_n<1200$.

On trouve $\boxed{\textcolor{red}{n=22}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Sujet 1 année 2021}}
La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout $n$, 
$u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1$.


%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.
Pour $n=0$, $u_1=u_{0+1}=\dfrac{3}{4}u_0 + \dfrac{1}{4}\times 0 +1 =\dfrac{3}{4}\times 1  +1 = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{4}}}$.

Pour $n=1$, $u_1=u_{1+1}=\dfrac{3}{4}u_1 + \dfrac{1}{4}\times 1+1 = \dfrac{3}{4}\times \dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4} +1 =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{41}{16}}}$. 

\end{enumerate}

\medskip

L'extrait, reproduit ci-contre, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{tabular}{|*3{c|}}\hline
& \cellcolor{orange!20}A&\cellcolor{orange!20}B \\ \hline
\cellcolor{cyan!30}	&$n$&$u_n$\\ \hline
\cellcolor{cyan!30}2 	&0	&1\\ \hline
\cellcolor{cyan!30}3 	&1	&1,75\\ \hline
\cellcolor{cyan!30}4 	&2	&\np{2,5625}\\ \hline
\cellcolor{cyan!30}5 	&3	&\np{3,421875}\\ \hline
\cellcolor{cyan!30}6 	&4	&\np{4,31640625}\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La formule, étirée ensuite vers le bas, que l'on peut écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B est:
		
\fbox{\textcolor{red}{\text{= 3/4 * B2 + 1/4 * A2 +1}}}.		
		
		\item La suite $\left(u_n\right)$ \textbf{\textcolor{red}{semble croissante}}.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété: $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}}

Pour $n=0$, $u_0=1$ et $0 \leqslant 1 \leqslant 1$ donc $\mathcal{P}_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}}

On suppose $\mathcal{P}_n$ vraie, c'est-à-dire: $n \leqslant u_n \leqslant n+1$ (hypothèse de récurrence).

$n \leqslant u_n \leqslant n+1 \\
\iff \dfrac{3}{4}n \leqslant \dfrac{3}{4}u_n \leqslant \dfrac{3}{4}\left (n+1\right )\\
 \iff \dfrac{3}{4}n +\dfrac{1}{4} n \leqslant \dfrac{3}{4}u_n  +\dfrac{1}{4} n  \leqslant \dfrac{3}{4}\left (n+1\right )  +\dfrac{1}{4} n \\
 \iff n \leqslant \dfrac{3}{4}u_n  +\dfrac{1}{4} n  \leqslant  n+\dfrac{3}{4}\\
 \iff n+1 \leqslant \dfrac{3}{4}u_n  +\dfrac{1}{4} n +1  \leqslant  n+\dfrac{3}{4} +1\\
 \iff n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+\dfrac{7}{4}$ 
 
 donc $n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2$.

On a démontré que la propriété était vraie au rang $n+1$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}}

La propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$; d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 0$.
\end{list}		

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, on a: $\boxed{\textcolor{red}{n \leqslant u_n \leqslant n + 1}}$.
		
		\item% En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite 		$\left(u_n\right)$.
\begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente:}
\item Pour tout $n$, $n\leqslant u_n \leqslant n+1$ donc $n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2$ donc 

$n \leqslant u_n \leqslant n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant n+2$ d'où on tire $u_n \leqslant u_{n+1}$ ce qui démontre que la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item Pour tout $n$, $n\leqslant u_n$; or $\lim_{n\to +\infty} n = +\infty$ donc, par comparaison, \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty}}$.
\end{list}		
		
		
		\item% Démontrer que : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1$.
Pour tout $n$, $n\leqslant u_n \leqslant n+1$ donc pour tout $n>0$, on a:
$1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant \dfrac{n+1}{n}$ c'est-à-dire: 
$1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant 1+\dfrac{1}{n}$.

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ donc $\lim_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$

Donc, d'après le\textbf{ \textcolor{red}{théorème des gendarmes}}: $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\to +\infty} \dfrac{u_n}{n}=1}}$.

	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - n$
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
Pour tout $n$, $v_n=u_n-n$ donc $u_n=v_n+n$.

$v_{n+1}=u_{n+1} - (n+1) = 	\dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n+1 -n-1
=\dfrac{3}{4}\left (v_n+n\right ) -\dfrac{3}{4}n
=\dfrac{3}{4}v_n +\dfrac{3}{4}n -\dfrac{3}{4}n
=\dfrac{3}{4}v_n$

$v_0=u_0-0=1$

Donc la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=\dfrac{3}{4}$ et de premier terme $v_0=1$.
		
		
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a : $u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n$.
On en déduit que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = \left (\dfrac{3}{4}\right )^n$.

Comme $u_n=v_n+n$, on a $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\left (\dfrac{3}{4}\right )^n + n}}$.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  