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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : correction des exercices sur les représentations paramétriques de droites}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux ?}}% Symbole Belin \no 9 page 312
La droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=-1+2t\\y=-3t\\z=2-t\end{cases},~t\in\mathbb{R} $

\begin{enumerate}[a) ]
\item passe par le point A(-1~;~0~;~2)

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : on obtient ces coordonnées pour $t=0$

\item a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}$

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}2\\-3\\-1\end{pmatrix}$ obtenu avec les coefficients du paramètre.

Il est clair que $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas colinéaires donc $\overrightarrow{u}$ n'est pas un vecteur directeur de cette droite.

\item passe par le point B(1~;~-3~;~-1)

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : on regarde s'il existe une valeur de $t$ telle que $\begin{cases}-1+2t=1\\-3t=-3\\2-t=-1\end{cases}$

La deuxième équation donne $t=1$ et en remplaçant $t$ par 1, les deux autres équations sont vérifiées. B est atteint pour $t=1$ et appartient bien à la droite $\mathscr{D}$.

\item a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}$.

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : Soit $\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{w}$ donc $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires ; $\overrightarrow{v}$ est donc également un vecteur directeur de cette droite $\mathscr{D}$.

\item est parallèle à la droite dont une représentation  paramétrique est $\begin{cases}x=3-2s\\y=1+3s\\z=s\end{cases},~s\in\mathbb{R}$

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} :  appelons $\Delta$ cette droite ; elle a pour vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ (cf. question précédente). $\Delta$ et $\mathscr{D}$ ont comme vecteurs directeurs des vecteurs colinéaires : elles sont bien parallèles.

\item ne coupe pas l'axe des ordonnées

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : les points de l'axe des ordonnées ont une abscisse nulle et une cote nulle ; on cherche donc s'il existe un réel $t$ tel que $\begin{cases}-1+2t=0\\-t=0\end{cases}$ qui donne $\begin{cases}t=\dfrac{1}{2}\\t=2\end{cases}$.

Ces deux équations sont incompatibles, donc $\mathscr{D}$ ne coupe pas l'axe des ordonnées.

\item coupe l'axe des cotes au point C(3~;~-6~;~0)

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : les points de l'axe des cotes ont une abscisse et une ordonnée nulle ; C n'appartient donc pas à cet axe !
\end{enumerate}

\subsection{}

On munit l’espace d’un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.\\
%Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $A(0~;~-1~;~2)$ et parallèle à la droite $\Delta$ passant par les points $B(-1~;~2~;~3)$ et $C(1~;~1~;~4)$.
$\Delta$ passe par les points $B(-1~;~2~;~3)$ et $C(1~;~1~;~4)$, donc a pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.\\
Ce vecteur est aussi un vecteur directeur de $(d)$.\\
Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est alors : $\begin{cases}x=2t\\y=-1-t\\z=2+t\end{cases},~t\in\mathbb{R}$




\subsection{}% Symbole Belin \no 60 page 318
On considère les points A(0~;~1~;~2), B(1~;~2~;~3) et les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est 

$\begin{cases}x=x_A+tx_{\overrightarrow{u}}\\y=y_A+ty_{\overrightarrow{u}}\\z=z_A+tz_{\overrightarrow{u}}\end{cases},~t\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}$

\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $(d')$ passant par B et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}$.
De même, une représentation paramétrique de la droite $(d')$ passant par B et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}$ est :

$\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=1-s\\y=2+2s\\z=3+s\end{cases},~s\in\mathbb{R}}}$

\item %Le point C(6~;~-8~;~-2) appartient-il à $(d)$ ? à $(d')$ ?
Le point C(6~;~-8~;~-2) appartient à $(d)$ s'il existe $t$ tel que $\begin{cases}t=6\\1+t=-8\\2+t=-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=6\\t=-9\\t=-4\end{cases}$, système incompatible. \fbox{\textcolor{red}{C n'appartient pas à $(d)$}}.

\bigskip

Le point C(6~;~-8~;~-2) appartient à $(d')$ s'il existe $s$ tel que $\begin{cases}1-s=6\\2+2s=-8\\3+s=-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}s=-5\\s=-5\\s=-5\end{cases}\Leftrightarrow s=-5$.

\fbox{\textcolor{red}{C appartient à $(d')$ pour $s=-5$}}.

\item %Les droites $(d)$ et (d') sont-elles sécantes ?
$(d)$ et $(d')$ sont sécantes s'il existe un coupe $(t~;~s)$ tel que 

$\begin{cases}t=1-s\\1+t=2+2s\\2+t=3+s\end{cases}$. On remplace $t$ par $1-s$ :

$\begin{cases}t=1-s\\1+1-s=2+2s\\2+1-s=3+s\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=1-s\\3s=0\\2s=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=1-s\\s=0\\s=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}s=0\\t=1\end{cases}$.

En remplaçant $s$ par 0, on obtient $x=1~;~y=2~;~z=3$ : on retrouve le point B.

\fbox{\textcolor{red}{$(d)$ et $(d')$ se coupent en B}}.
 \end{enumerate}


\subsection{}% Symbole Belin \no 64 page 318
On considère les trois droites dont les représentations paramétriques sont : 

$\left(d_1\right)\begin{cases}x=-t\\y=3+t\\z=1+2t\end{cases},~t\in\mathbb{R}$

\bigskip

$\left(d_2\right)\begin{cases}x=3+2s\\y=-2s\\z=-5-4s\end{cases},~s\in\mathbb{R}$

\bigskip

$\left(d_3\right)\begin{cases}x=-2+4u\\y=1+4u\\z=1\end{cases},~u\in\mathbb{R}$

\begin{enumerate}[a) ]
\item %Montrer que ces trois droites sont concourantes en un point dont on déterminera les coordonnées.
On cherche le point d'intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.

On résout le système : 

$\begin{cases}-t=3+2s\\3+t=-2s\\1+2t=4-4s\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}t=-3-2s\\3-3-2s=-2s\\1+2(-3-2s)=-5-4s\end{cases}\Leftrightarrow t=-3-2s$.

Il y a une infinité de couples $(s~;~t)$ solutions, ce qui signifie que les deux droites sont \textbf{\textcolor{red}{confondues}}.

On peut d'ailleurs le vérifier car elles ont des vecteurs directeurs colinéaires et le point de coordonnés $(0~;~3~;~1)$ appartient aux deux droites pour $t=0$ et $s=-\dfrac{3}{2}$.

Reste à montrer que $d_1$ et $d_3$ sont sécantes.

On résout le système : $\begin{cases}-t=-2++4u\\3+t=1+4u\\1+2t=1\end{cases}$

On obtient facilement $t=0$ et $u=\dfrac{1}{2}$.

$d_1$ et $d_3$ se coupent au point de coordonnées $(0~;~3~;~1)$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  