<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Suites numÃ©riques}}}
\date{}
\begin{document}


\maketitle

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Suites numÃ©riques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{GÃ©nÃ©ralitÃ©s}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{DÃ©finition :}}}
Une suite numÃ©rique $u$ est une fonction numÃ©rique, dÃ©finie sur $\mathbb{N}$ ou sur une partie de $\mathbb{N}$ et Ã&nbsp; valeurs dans $\mathbb{R}$.\\
$u:\begin{array}{l}\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\\
n\mapsto u(n)\end{array}.$\\
\textcolor{red}{Notation : } Le terme gÃ©nÃ©ral $u(n)$ se note $u_{n}$.\\
L'ensemble des termes de la suite se note $\left(u_{n}\right)_{{n\in\mathbb{N}}}$.\\
\end{bclogo}


\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = red!20, arrondi = 0.1,logo=\bcdanger]{\textcolor{blue}{Attention}}
Attention Ã&nbsp; ne pas confondre les deux notations :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_{n}$ est le terme de rang $n$.

\item $\left(u_{n}\right)_{{n\in\mathbb{N}}}$ est l'ensemble des termes de la suite.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite dÃ©finie par $u_{n}=2^n-1$ pour tout $n$

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite dÃ©finie par $u_{n}=\sqrt{n-4}$ pour tout $n\geqslant 4$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
Nous allons voir qu'il y a deux fa\c cons de dÃ©finir une suite :


\subsubsection{\textcolor{blue}{DÃ©finition explicite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{}
Une suite est dÃ©finie de fa\c con explicite lorsque le terme gÃ©nÃ©ral $u_{n}$ est exprimÃ© en fonction de $n$.
\end{bclogo}

\textcolor{blue}{Exemples :}

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ dÃ©finie par : $u_{n}=n^2+5n+3$.

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ dÃ©finie par : $u_{n}=\sqrt{n^2+5}$.

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ dÃ©finie par : $u_{n}$ est la $n$\ieme{} dÃ©cimale de $\pi$.\\
MÃªme si l'on ne connaÃ®t pas encore toutes les dÃ©cimales de $\pi$, cette suite est explicite, car les dÃ©cimales de $\pi$ sont bien dÃ©finies.
\end{enumerate}
Lorsqu'une suite est dÃ©finie de fa\c on explicite, on peut calculer directement le terme de n'importe quel rang.

\subsubsection{\textcolor{blue}{DÃ©finition par rÃ©currence :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{}
Une suite  $\left(u_{n}\right)$ est dÃ©finie par rÃ©currence lorsque chaque terme est dÃ©fini en fonction du terme prÃ©cÃ©dent ou des termes prÃ©cÃ©dents, et par la donnÃ©e du ou des premiers termes.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ dÃ©finie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1\\u_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_{n}}\text{ pour tout }n\end{array}\right.$

\item suite de Fibonacci : \\
$\left\{\begin{array}{l}F_{0}=F_{1}=1\\
F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1}\end{array}\right.$.

\item $\begin{cases}u_{0}=2\\u_{n+1}=\dfrac{2}{3+u_{n}}\end{cases}$
%$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1}=\dfrac{2}{3+u_{n}}\end{array}\right.$\\
Calculer les trois premiers termes.\\
Est-il facile de calculer le terme $u_{25}$ ? $u_{100}$ ?
\end{enumerate}
Le problÃ¨me des suites dÃ©finies par rÃ©currence est que pour calculer le terme de rang $p$, il faut connaÃ®tre tous les termes prÃ©cÃ©dents !\\
Pour certaines suites dÃ©finies par rÃ©currence, on essaye de se ramener Ã&nbsp; une dÃ©finition explicite, mais ce n'est pas toujours facile ou possible !\\

%\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
%$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=6\\
%u_{n+1}=2u_{n}-5\end{array}\right.$.\\
%Soit $(v_{n})$ dÃ©finie par : $v_{n}=5+2^n$.\\
%En calculant les premiers termes de chacune de ces deux suites, on constate que l'on trouve les mÃªmes termes.\\
%Peut-on en dÃ©duire que tous les termes coÃ¯ncident ? Bien Ã©videmment, non ! Ce qui se passe sur quelques termes ne permet pas de gÃ©nÃ©raliser.\\



\subsection{\textcolor{red}{ReprÃ©sentation graphique des termes d'une suite}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Suite dÃ©finie de fa\c con explicite}}
On a $u_{n}=f(n)$ oÃ¹ $f$ est une fonction.\\
On reprÃ©sente les points de coordonnÃ©es $(n~;~f(n))$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Suites dÃ©finies par rÃ©currence}}
Soit une suite dÃ©finie par $u_{0}$ et la relation $u_{n+1}=f(u_{n})$, oÃ¹ $f$ est une fonction.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On trace un repÃ¨re $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, puis la droite $\mathscr{D}$, d'Ã©quation $y=x$ (premiÃ¨re bissectrice).

\item On trace la reprÃ©sentation graphique de la fonction $f$ dans le mÃªme repÃ¨re.

\item On place $u_{0}$ sur l'axe des abscisses et le point $M_{0}(u_{0}~;~0)$ sur l'axe des abscisses.

\item On veut reprÃ©senter $u_{1}$ ; par dÃ©finition, $u_{1}=f(u_{0})$. On trace en pointillÃ©s le segment parallÃ¨le Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es, joignant $M_{0}$ au point de la courbr $\mathscr{C}_{f}$ de mÃªme abscisse, puis en pointillÃ©s le segment joignant ce point au point de mÃªme ordonnÃ©e de la droite $\mathscr{D}$. Ces deux points ont pour ordonnÃ©e $u_{1}$.\\
Comme $\mathscr{D}$  a pour Ã©quation $y=x$, ce dernier point a pour abscisse $u_{1}$, que l'on place sur l'axe des abscisses et on note $M_{1}$ le point de coordonnÃ©es $\left(M_{1}~;~0\right)$.

\item On recommence la construction prÃ©cÃ©dente avec $u_{1}$, puis $u_{2}$, etc.
\end{enumerate}

\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ dÃ©finie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=-1\\u_{n+1}=2\sqrt{u_{n}+4}\end{array}\right.$\\
On a $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ avec $f(x)=2\sqrt{x+4}$.\\
On reprÃ©sente la courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite d'Ã©quation $y=x$ (premiÃ¨re bissectrice).\\
Sur l'axe des abscisses, on place $u_{0}=-1$.\\
$u_{1}=f\left(u_{0}\right)$ ; Ã&nbsp; partir de $u_{0}$, on trace la droite parallÃ¨le Ã&nbsp; l'axe des abscisses jusqu'Ã&nbsp; la courbe $\mathscr{C}_{f}$. L'ordonnÃ©e du point d'intersection est $u_{1}$.\\
On trace alors la droite parallÃ¨le Ã&nbsp; l'axe des abscisses Ã&nbsp; partir du point d'intersection prÃ©cÃ©dent jusqu'Ã&nbsp; la bissectrice ; ce point a pour coordonnÃ©es $\left(u_{1~;~u_{1}}\right)$ ; on place alors sur l'axe des abscisses le nombre $u_{1}$.\\
On recommence Ã&nbsp; partir de $u_{1}$ \dots

\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-1.5,-1.1)(7.1,7.1)
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\def\F{2 x 4 add sqrt mul}
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\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.5}{7}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[-90](-1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,3.4641){ $u_1$}
\uput[-90](3.4641,0){ $u_1$}
\uput[180](0,5.4641){ $u_2$}
\uput[-90](5.4641,0){ $u_2$}
\uput[180](0,6.15275){ $u_3$}
\uput[-90](6.15275,0){ $u_3$}
\uput[180](0,6.37267){ $u_4$}
\uput[-90](6.37267,0){ $u_4$}
\uput[180](0,6.44132){ $u_5$}
\uput[-90](6.44132,0){ $u_5$}
\uput[180](0,6.4626){ $u_6$}
\uput[-90](6.4626,0){ $u_6$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\textbf{\textcolor{red}{Autre exemple }}: $\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+8}{2u_n+1}\end{array}\right.$
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{4} \def\ymin{0} \def\ymax{4}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.1,-0.1)(4.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,1.57142)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(3,1.57142)(0,1.57142)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,2.10643)(2.10643,2.10643)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.10643,2.10643)(2.10643,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.10643,2.10643)(2.10643,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.10643,0)(2.10643,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.10643,0)(2.10643,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.10643,1.93874)(0,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.10643,1.93874)(0,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1.93874)(1.93874,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,1.93874)(1.93874,1.93874)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,1.93874)(1.93874,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,1.93874)(1.93874,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,0)(1.93874,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,0)(1.93874,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,2.03767)(0,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,2.03767)(0,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.03767)(2.03767,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,2.03767)(2.03767,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.03767,2.03767)(2.03767,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.03767,2.03767)(2.03767,0)
\def\F{x 8 add 2 x mul 1 add div}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{6}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{6}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{-&gt;}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{-&gt;}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,3){ $u_1$}
\uput[-90](3,0){ $u_1$}
\uput[180](0,1.57142){ $u_2$}
\uput[-90](1.57142,0){ $u_2$}
\uput[180](0,2.31034){ $u_3$}
\uput[-90](2.31034,0){ $u_3$}
\uput[180](0,1.83435){ $u_4$}
\uput[-90](1.83435,0){ $u_4$}
\uput[180](0,2.10643){ $u_5$}
\uput[-90](2.10643,0){ $u_5$}
\uput[180](0,1.93874){ $u_6$}
\uput[-90](1.93874,0){ $u_6$}
\uput[180](0,2.03767){ $u_7$}
\uput[-90](2.03767,0){ $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On peut consulter la vidÃ©o suivante : cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=6tzomETT2OM}{ici}



\subsection{\textcolor{red}{Variations et bornes}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ DÃ©finitions}}
Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Suite croissante :} $\left(u_{n}\right)$ est croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\geqslant u_{n}$.

\item \textbf{Suite dÃ©croissante :} $\left(u_{n}\right)$ est dÃ©croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$.

\item \textbf{Suite constante :} $\left(u_{n}\right)$ est constante si, pour tout $n$, $u_{n+1}= u_{n}$.

\item \textbf{Suite monotone :} $\left(u_{n}\right)$ est monotone si elle est croissante ou dÃ©croissante.\\
Elle est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement dÃ©croissante.

\item \textbf{Suite majorÃ©e :} $\left(u_{n}\right)$ est majorÃ©e par $M$ s'il existe un rÃ©el $M$, tel que, pour tout $n$, $u_{n}\leqslant M$.\\
$M$ est alors un majorant de la suite. Il n'est pas unique, puisque tout nombre supÃ©rieur Ã&nbsp; un majorant est aussi un majorant.

\item \textbf{Suite minorÃ©e :} $\left(u_{n}\right)$ est minorÃ©e par $m$ s'il existe un rÃ©el $m$, tel que, pour tout $n$, $u_{n}\geqslant  m$.\\
$m$ est alors un minorant de la suite. Il n'est pas unique, puisque tout nombre infÃ©rieur Ã&nbsp; un minorant est aussi un minorant.

\item \textbf{Suite bornÃ©e :} $\left(u_{n}\right)$ est bornÃ©e si elle est minorÃ©e et majorÃ©e
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item Soit $u_{n}$ la suite dÃ©finie par : $u_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}$. Pour tout $n$, $u_{n}&lt;1$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorÃ©e par 1.\\
De mÃªme, $u_{n}&gt;0$ donc $\left(u_{n}\right)$ est minorÃ©e par 0.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=\left(1-\dfrac{1}{n+2}\right)=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}&gt;0$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}\geqslant  u_{n}$, donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.\\
Autre mÃ©thode : $u_{n}=f(n)$ avec $f(x)=1-\dfrac{1}{x+1}$ ($x\in\mathbb{R}$). Sur $\mathbb{R}$, $f$ est dÃ©rivable et $f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}&gt;0$.\\
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a donc $f(n+1)\geqslant f(n)$, c'est-Ã&nbsp;-dire $u_{n+1}\geqslant u_{n}$, donc la suite est croissante.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite dÃ©finie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=-5\\u_{n+1}=u_{n}+n\end{array}\right.$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_{n}=n\geqslant 0$ donc $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
\end{enumerate}

Nous allons maintenant Ã©tudier deux types de suites particuliÃ¨res, que l'on rencontre souvent.




\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmÃ©tiques}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{DÃ©finition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmÃ©tique s'il existe un rÃ©el $r$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
Par consÃ©quent : $u_{n+1}-u_{n}=r$ ; la diffÃ©rence entre deux termes consÃ©cutifs est constante.\\
$r$ est appelÃ© \textbf{\textcolor{red}{raison}} de la suite.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite des entiers naturels

\item la suite des entiers pairs (ou impairs)

\item la hauteur dont on s'Ã©lÃ¨ve en grimpant un escalier (ou en le descendant)
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} le terme \og arithmÃ©tique\fg~vient de ce que chaque terme est la moyenne arithmÃ©tique du terme qui le prÃ©cÃ¨de et de celui qui le suit : $u_{n}=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Ã‰criture explicite des termes}}
 
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me }}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmÃ©tique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on  : $u_{n}=u_{0}+nr$.\\
Plus gÃ©nÃ©ralement : pour tout $p$, $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Explication}}\\
On a successivement : \\
$u_{1}=u_{0}+r$\\
$u_{2}=u_{1}+r=\left(u_{0}+r\right)+r=u_{0}+2r$\\
$u_{3}=u_{2}+r=\left(u_{0}+2r\right)+r=u_{0}+3r$\\
\dots\\
$u_{n-1}=u_{0}+(n-1)r$\\
$u_{n}=u_{n-1}+r=\left(u_{0}+(n-1)r\right)+r=u_{0}+nr$\\

\noindent Sinon, $u_{n}=u_{0}+nr$ et $u_{p}=u_{0}+pr$ ; par soustraction, on a : $u_{n}-u_{p}=(n-p)r$ donc $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me :}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ un suite arithmÃ©tique de raison $r$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $r=0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.

\item Si $r&gt;0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\item Si $r&lt;0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est dÃ©croissante.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} :\\
$u_{n+1}-u_{n}=r$ d'oÃ¹ le rÃ©sultat.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des premiers entiers naturels}}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me}}
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, notons $s_{n}$ la somme $s_{n}=1+2+3+\cdots+n$.\\
On a : $s_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration :}}\\
On Ã©crit $s_{n}$ Ã&nbsp; l'endroit puis Ã&nbsp; l'envers et on ajoute terme Ã&nbsp; terme.\\
$s_{n}=1+2+3+\cdots+(n-1)+n$\\
$s_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1$.\\
En additionnant, on trouve : \\
$2s_{n}=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)=n(n+1)$ (car il y a $n$ termes Ã©gaux Ã&nbsp; $n+1$ ).\\
Par consÃ©quent : $s_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Sommes des  termes consÃ©cutifs d'une suite arithmÃ©tique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me :}}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmÃ©tique de raison $r$ et soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=1}^nu_{i}$.\\
Alors : $S_{n}=(n+1)u_{0}+\dfrac{n(n+1)}{2}r$\\
ou $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$ (nombre de termes multipliÃ© par la demi-somme des termes extrÃªmes).\\
$u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=(n-p+1)\left(\dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}\right)$ (nombre de termes multipliÃ© par la demi-sommes des termes extrÃªmes).
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} :\\
\noindent $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}\\
=u_{0}+\left(u_{0}+r\right)+\left(u_{0}+2r\right)=\cdots+\left(u_{0}+(n-1)r\right)+\left(u_{0}+nr\right)\\
=\left(u_{0}+u_{0}+\cdots u_{0}\right)+(1+2+\cdots+n)r=(n+1)u_{0}+\dfrac{n(n+1)}2{r}$\\




\noindent \textcolor{red}{Autre formule :}\\
On Ã©crit lÃ&nbsp; encore $S_{n}$ de deux fa\c cons diffÃ©rentes (Ã&nbsp; l'endroit puis Ã&nbsp; l'envers).\\
$S_{n}=u_{0}+\left(u_{0}+r\right)+\left(u_{0}+2r\right)+\cdots+\left(u_{n-1}+(n-1)r\right)+\left(u_{0}+nr\right)$.\\
$S_{n}=u_{n}+\left(u_{n}-r\right)+\left(u_{n}-2r\right)+\cdots+\left(u_{n}-(n-1)r\right)+\left(u_{n}-nr\right)$.\\
On ajoute terme Ã&nbsp; terme :\\
$2S_{n}=\left(u_{0}+u_{n}\right)+\cdots+\left(u_{0}+u_{n}\right)=(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)$ (car il y a $n+1$ termes dans la somme $S_{n}$).\\
D'oÃ¹ : $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$\\

\noindent La formule $u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=(n-p+1)\left(\dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}\right)$ se dÃ©montre de la mÃªme fa\c con ; le nombre de termes est $n-p+1$.

\subsection{\textcolor{red}{Suites gÃ©omÃ©triques}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{DÃ©finition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est gÃ©omÃ©trique s'il existe un rÃ©el $q$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=qu_{n}$.\\
$q$ est appelÃ© \textbf{\textcolor{red}{raison}} de la suite.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite des puissances de 2 : $2^0,~Â&nbsp;2^1,~\cdots,~2^n\cdots$ est une suite gÃ©omÃ©trique de raison $q=2$

\item la population d'une ville augmente chaque annÃ©e de 1,5~\% ; elle est donc multipliÃ©e chaque annÃ©e par $\left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)=1,015$ (coefficient multiplicateur).\\
On obtient une suite gÃ©omÃ©trique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,015}}$
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} le terme \og gÃ©omÃ©trique\fg~vient de ce que chaque terme est la moyenne gÃ©omÃ©trique du terme qui le prÃ©cÃ¨de et de celui qui le suit : $u_{n}=\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Ã‰criture explicite des termes}}
 
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me }}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite gÃ©omÃ©trique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on  : $u_{n}=u_{0}q^n$.\\
Plus gÃ©nÃ©ralement : pour tout $p$, $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} (pas trÃ¨s rigoureuse, tant que l'on n'a pas vu les dÃ©monstrations par rÃ©currence)
On a successivement : \\
$u_{1}=qu_{0}$\\
$u_{2}=u_{1}\times q=\left(u_{0}\times q\right)\times q=u_{0}q^2$\\
$u_{3}=u_{2}\times q=\left(u_{0}\times q^{2}\right)=u_{0}\times q^{3}$\\
\dots\\
$u_{n-1}=u_{0}\times q^{n-1}$\\
$u_{n}=u_{n-1}\times q=\left(u_{0}\times q^{n-1}\right)\times q=u_{0}\times q^{n}$\\

\noindent Sinon, $u_{n}=u_{0}q^{n} =u_{0}q^{p}\times q^{n-p}=u_{p}q^{n-p}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me :}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ un suite gÃ©omÃ©trique de raison $q$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.

\item Si $q&gt;1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante si $u_{0}&gt;0$ et dÃ©croissante si $u_{0}&lt;0$.

\item Si $0&lt;q&lt;1  $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est dÃ©croissante si $u_{0}&gt;0$ et croissante si $u_0&lt;0$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} :\\
$u_{n+1}-u_{n}=u_{0}q^n-u_{0}q^{n-1}=u_{0}q^{n-1}(q-1)$ qui est du signe de $u_{0}(q-1)$ d'oÃ¹ le rÃ©sultat.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des premiÃ¨res puissances d'un nombre $q$}}

\begin{minipage}{18cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me}}
Soit $q$ un nombre non nul.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, notons $s_{n}$ la somme $s_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, $s_{n}=n+1$.

\item Si $q\neq 1$, $s_{n}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ en prenant l'oppose du numÃ©rateur et du dÃ©nominateur
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, c'est Ã©vident, puique $q^p=1$ pour tout $p$.

\item On Ã©crit $s_{n}$ une premiÃ¨re fois puis de nouveau en la multipliant par $q$ et on soustrait terme Ã&nbsp; terme.\\
$s_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^{n}$\\
$q\times s_{n}=q+q^2+q^3+q^n+q^{n+1}$.\\
En soustrayant, on trouve : $qs_{n}-s_{n}=q^{n+1}-1$ (car les autres termes s'annulent deux par deux).\\
Par consÃ©quent : $s_{n}(q-1)=q^{n+1}-1$ d'oÃ¹ $s_{n}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$, que l'on peut aussi Ã©crire $\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{enumerate}

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Sommes des  termes consÃ©cutifs d'une suite gÃ©omÃ©trique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me :}}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite gÃ©omÃ©trique de raison $q$ et soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=1}^nu_{i}$.\\
Alors : $S_{n}=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
$u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=u_{p}\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} :\\
\noindent $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}=u_{0}+u_{0}q+\cdots+u_{0}q^n=u_{0}\left(1+q+q^2+\cdots+q^n\right)=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.\\

\noindent $u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=u_{p}+u_{p}q+\cdots+u_{p}q^{n-p}=u_{p}\left(1+q+q^2+\cdots+q^{n-p}\right)=u_{p}\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item $1+3+3^2+\cdots+3^{15}=\dfrac{3^{16}-1}{3-1}=\dfrac{3^{16}-1}{2}=\numprint{21523360}$

\item $5^{11}+5^{12}+\cdots+5^{20}=5^{11}\dfrac{5^{20-11+1}-1}{5-1}=5^{11}\dfrac{5^{10}-1}{4}=\numprint{119209277343750}$


\item \textbf{\textcolor{red}{LÃ©gende de l'Ã©chiquier}} :\\
En Inde, le roi Belkib (ou Bathait), qui s'ennuie Ã&nbsp; la cour, demande qu'on lui invente le jeu pour le distraire. Le sage Sissa invente alors un jeu d'Ã©checs, ce qui ravit le roi. Pour remercier Sissa, le roi lui demande de choisir sa rÃ©compense, aussi fastueuse qu'elle puisse Ãªtre. Sissa choisit de demander au roi de prendre le plateau du jeu et, sur la premiÃ¨re case, poser un grain de riz, ensuite deux sur la deuxiÃ¨me, puis quatre sur la troisiÃ¨me, et ainsi de suite, en doublant Ã&nbsp; chaque fois le nombre de grains de riz que lâ€™on met. Le roi et la cour sont amusÃ©s par la modestie de cette demande. Mais lorsqu'on la met en Å“uvre, on s'aperÃ§oit qu'il n'y a pas assez de grains de riz dans tout le royaume pour la satisfaire.

\end{enumerate}
\bigskip

RÃ©ponse : Le nombre de grainas de riz est :\\
$N=1+2+2^2+\cdots+2^{63}=\dfrac{2^{64}-1}{1-1}=2^{64}-1=\numprint{18446744073709551615}\approx 1,9\times 10^{19}$


\subsubsection{ \textcolor{blue}{CaractÃ©risation d'une suite gÃ©omÃ©trique}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Les suites gÃ©omÃ©triques sont les suites dont le terme gÃ©nÃ©ral est de la forme $aq^n$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique, $u_n=aq^n$.

\item On suppose qu'il existe $q$ tel que, pour tout $n$, $u_n=aq^n$.\\
Alors : $u_{n+1}=aq^{n+1}=aq^n\times q=q\times u_n$ donc $\left(u_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique de raison $q$.\\
Le premier terme est alors $u_0=a$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Notion de limite d'une suite}}


On s'intÃ©resse au comportement des termes de la suite quand les valeurs de $n$, prennent des valeurs aussi grandes que l'on veut, c'est-Ã&nbsp;-dire, tendent vers $+\infty$.

\bigskip


\begin{enumerate}[A)]
\item \textbf{ \textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Limite finie}}}} :

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple graphique 1}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-1,-0.5)(15,1.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,1)(1,0.5)(2,0.333333333333333)(3,0.25)(4,0.2)(5,0.166666666666667)(6,0.142857142857143)(7,0.125)(8,0.1111)(9,0.1)(10,0.090909)(11,0.083)(12,0.077)(13,0.0714285714285714)(14,0.0666666666666667)(15,0.0625)
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement, les termes de la suite (ordonnÃ©es des points) semblent se rapprocher de plus en plus de 0.\\
On note : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$ ; on dit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0 ou que le terme $u_n$ tend vers 0.

\newpage


\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple graphique  2}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,2.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-1,-0.5)(15,2.4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,1)(1,1.5)(2,1.66666666666667)(3,1.75)(4,1.8)(5,1.83333333333333)(6,1.85714285714286)(7,1.875)(8,1.88888888888889)(9,1.9)(10,1.90909090909091)(11,1.91666666666667)(12,1.92307692307692)(13,1.92857142857143)(14,1.93333333333333)(15,1.9375)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(15,2)
\uput[u](13,2){$y=2$}
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement, les termes de la suite (ordonnÃ©es des points) semblent se rapprocher de plus en plus de 2.\\
On note : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=20$ ; on dit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 2 ou que le terme $u_n$ tend vers 2.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ© (admise)}}
Les suites de terme gÃ©nÃ©ral $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$, \dots, $\dfrac{1}{n^k}$ oÃ¹ $k$ est un entier naturel et $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ tendent vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{bclogo}

\newpage


\item \textbf{ \textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Limite infinie}}}} :

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple  graphique  3}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(10,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{-&gt;}(0,0)(-1,-0.25)(10,110)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2,linecolor=red](0,0)(1,1)(2,4)(3,9)(4,16)(5,25)(6,36)(7,49)(8,64)(9,81)(10,100)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\end{pspicture}

\end{center}
Les termes de la suite semblent devenir aussi grands que l'on veut.\\
On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple  graphique  4}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,1)(10,-5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-1,1)(10,-5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2,linecolor=red](0,0)(1,-1)(2,-1.414)(3,-1.732)(4,-2)(5,-2.236)(6,-2.45)(7,-2.646)(8,-2.828)(9,-3)(10,-3.162)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\end{pspicture}

\end{center}
Les termes de la suite semblent devenir aussi grands que l'on veut en valeur absolue, en Ã©tant nÃ©gatifs.\\
On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Les suites de terme gÃ©nÃ©ral $n$, $n^2$, $n^k$ ($k$entier naturel non nul) et $\sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{bclogo}
\bigskip

\danger \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} il existe des suites qui n'ont pas de limite : exemple : $u_n=(-1)^n$ qui alterne entre -1et 1
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}} : on peut conjecturer des limites de fonctions par un graphique (en reprÃ©sentant les points de coordonnÃ©es $(n~;~u_n))$, en regardant les rÃ©sultats d'un tableur (ou calculatrice) ou en appliquant des rÃ¨gles de calculs sur les limites.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Graphiquement : voir prÃ©cÃ©demment.

\item Tableur : considÃ©rons la suite dÃ©finie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=0,8u_n+5$.\\
Dans un tableur, on obtient :
\begin{center}
$\begin{array}{|&gt;{\columncolor{yellow!30}}p{1cm}|c|c|}\hline
1&amp;n&amp;u_n\\
\hline
2&amp;0&amp;3\\
\hline
3&amp;1&amp;\og{}=0.8*B2+5\fg{}\\
\hline
4&amp;2&amp;10,92\\
\hline
\vdots&amp;\vdots&amp;\vdots\\
\hline
57&amp;55&amp;24,9998971\\
\hline
58&amp;56&amp;24,9999177\\
\hline
59&amp;57&amp;24,9999342\\
\hline
60&amp;58&amp;24,9999473\\
\hline
51&amp;59&amp;24,9999579\\
\hline

\end{array}$
\end{center}
On conjecture que la suite tend vers 25 quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}</pre></body></html>