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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\arabic{subsubsection})}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Démonstrations des formules de croissances comparées pour la fonction exponentielle}}

\bigskip


\subsubsection{\textcolor{red}{Partie I}}
On considère la fonction. $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\mathrm{e}^{x}-x.\]
\begin{enumerate}
\item %Calculer l'expression de $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de variation de $f$ (les limites à l'infini ne sont pas demandées).
On a $f'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$ : $f'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}\geqslant 1\Leftrightarrow x\geqslant 0$.\\
$f(0)=1$.\\
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&1&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire, que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)>0$.
On en édit que, pour tout $x$, $f(x)\geqslant 1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{f(x)>0}}$.

\item %En déduire que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$.
Pour tout $x$, $f(x)>0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x}>x$.\\
Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$, d'après un théorème de comparaison, on obtient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty}}$

\item %En effectuant le changement de variable $X=-x$, en déduire $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}$. 
On pose $x=-x$ donc $x=-X$.\\
Alors : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-X}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}^{X}}\right)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0}}$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{red}{Partie II : étude de $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$}}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{x^2}{2}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g'(x)$.
Pour tout $x$, $\boxed{\textcolor{red}{g'(x)=\mathrm{e}^{x}-x}}$

\item %En déduire le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$ (utiliser la partie I).
D'après I, $g'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$ donc $g$ est croissante sur $\mathbb{R}$

\item %En déduire que pour tout $x>0$, $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\dfrac{x}{2}$.
On en déduit que, pour $x\geqslant 0$, $g(x)\geqslant g(0)=1$ donc $g(x)>0$ d'où $\mathrm{e}^{x}>\dfrac{x^2}{2}$.\\
Pour $x>0$, en divisant par $x$, on obtient : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\dfrac{x}{2}}}$

\item %En déduire que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$
Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{x}{2}\right)=3\infty$, en utilisant un théorème de comparaison, on a : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty}}$.

\item On veut calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}$.\\
Pour cela, on pose $X=-x$.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer alors $x$ en fonction de $-X$.
On a $x=-X$

\item %Montrer que $x\mathrm{e}^{x}=-\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}$.
$x\mathrm{e}^{x}=-X\mathrm{e}^{-X}=-\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}$.

\item %Si $x$ tend vers $-\infty$, vers quoi tend $X$ ?
Si $x$ tend vers $-\infty$, $X$ tend vers $+\infty$.

\item %En déduire que $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}\right)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}}\right)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ puisque $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}\right)=+\infty$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Partie III : étude de $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$}}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $x>0$ et pour tout entier $n>0$ : \[\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n\left(\dfrac{1}{n}\right)^n.\]
Pour tout $x$; $\mathrm{e}^{x}=\left(\mathrm{e}^{\frac{x}n}\right)^n$ et $\dfrac{1}{x}=\dfrac{n}{x}\times \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{\frac{x}n}\times \left(\dfrac{1}{n}\right)$ donc $\dfrac{1}{x^n}=\left(\dfrac{1}{x}\right)^n=\left[\dfrac{1}{\frac{x}n}\times \left(\dfrac{1}{n}\right)\right]^n=\left(\dfrac{1}{\frac{x}n}\right)^n\times \left(\dfrac{1}{n}\right)^n.$\\
On en déduit : $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n\left(\dfrac{1}{n}\right)^n$.

\item On pose $X=\dfrac{x}{n}$ ; on a alors $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)^,\times \left(\dfrac{1}{n}\right)^n$.\\
%On admet le théorème suivant :
%\og{}Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $a$, $b$ et $c$ sont des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.\\
%Si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ et si $\lim_{x\rightarrow b}g(x)=c$, alors \\
%$\lim_{x\rightarrow a}g\left(f(x)\right)=\lim_{x\rightarrow a}g\circ f(x)$=c\fg{}.\\
%Démontrer alors que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$. On remarquera que $\left(\dfrac{1}{n}\right)^n$ est contant, la variable étant $x$.
On a : $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}\right)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)^,\times \left(\dfrac{1}{n}\right)^n=+\infty$ car $\left(\dfrac{1}{n}\right)^n$ est constant et $\lim_{X\rightarrow =\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)=+\infty$/

Donc : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Étude de la limite de $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}$ ($n\in\mathbb{N}^*$)}}
On pose $X=-x$.\\

\begin{enumerate}
\item %Montrer que calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}$ revient à calculer $\lim_{X\rightarrow =\infty}\dfrac{(-1)^n(X^n)}{\mathrm{e}^{X}}$.
Puisque $X--x$, on a : $x=-X$ donc $x^n=(-X)^n=(-1)^nX^n$.\\
Alors $x^n\mathrm{e}^{x}=(-1)^nX^n\mathrm{e}^{-X}=(-1)^n\times \dfrac{X^n}{\mathrm{e}^{X}}$.
Donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}=\lim_{X\rightarrow =\infty}\dfrac{(-1)^n(X^n)}{\mathrm{e}^{X}}$.

\item %Que vaut $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{X^n}{\mathrm{e}^{X}}$ ? Justifier.
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{X^n}{\mathrm{e}^{X}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}}\right)=0$ d'après la partie précédente.

\item On en déduit :  $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}=0}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
On a étudié révolution du taux d'alcoolémie dans le sang d'un homme majeur de 70 kg pendant les cinq heures suivant l'absorption de deux verres de vin au cours d'un repas.\\
On suppose que le taux d'alcoolémie (exprimé en grammes d'alcool par litre de sang) est modélisé en fonction du temps écoulé depuis la consommation (exprimé en heures) par la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~7]$ par $f(t)=2\mathrm{e}^{-\frac{t}2}-2\mathrm{e}^{-t}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.05)(7,0.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-1,-0.05)(7,0.6)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{7}{2*EXP(-x/2)-2*EXP(-x)}
\multido{\r=0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.5pt](\r,0)(\r,0.6)}
\multido{\r=0+0.1}{6}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\r)(7,\r)}
\uput[r](0,0.6){Taux d'alcoolémie}
\uput[u](5,0){Temps en heures}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer par le calcul au bout de combien de temps, approximativement, le taux d'alcoolémie est maximal.
Étudions les variations de $f$ :\\
$f'(t)=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-\frac{t}2}-2\times \left(-\mathrm{e}^{t}\right)=-\mathrm{e}^{-\frac{t}2}+\mathrm{e}^{-t}=\mathrm{e}^{-\frac{t}2}\left(-1+2\mathrm{e}^{-\frac{t}2}\right)$ car $\mathrm{e}^{-t}=\mathrm{e}^{-2\times \frac{t}2}=\left(\mathrm{e}^{-\frac{t}2}\right)^2$.\\
$f'(t)=0\Leftrightarrow 2\mathrm{e}^{-\frac{t}2}=1\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-\frac{t}2}=\dfrac{1}{2}$.\\
Cette équation a une solution car la fonction $t\mapsto \mathrm{e}^{-\frac{t}2}$ est continue, la valeur en 0 est 1 et $\lim_{t\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t}2}=0$ et on applique le théorème des valeurs intermédiaires. La solution est unique par décroissance de la fonction. La solution $\alpha$ vaut environ 1,39 h.\\
En fait $\alpha=2\ln 2$.\\
La fonction est d'abord croissante puis décroissante :; la concentration est maximum au bout d'environ 1,39 h, donc 1 h 23 min.

\item %Étudier la convexité de $f$ sur $[0~;~7]$.
On étudie le signe de $f''(t)$.\\
$f''(t)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{t}2}-2\mathrm{e}^{-t}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-\frac{t}2}\left(1-4\mathrm{e}^{-\frac{t}2}\right)$.\\
$f''(t)=0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-\frac{t}2}=\dfrac{1}{4}$.\\
On trouve $t\approx 2,77$.\\
$f''(t)>0\Leftrightarrow 1-4\mathrm{e}^{-\frac{t}2}>0\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}<\mathrm{e}^{-\frac{t}2}$.\\
On trouve $t>2,77$ (environ).\\
$f$ est convexe pour $2,77\leqslant t\leqslant 7$ et concave pour $0\leqslant t\leqslant 2,77$.

\item %Déterminer au bout de combien de temps, approximativement, la diminution du taux d'alcool dans le sang s'accélère.
La diminution du taux d’alcool dans le sang s’accélère au bout de 2,77 h environ soit 2 h 46 min 20 s.
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac Asie juin 019

\textcolor{blue}{\textbf{Partie A}}

\medskip 

Dans cette partie, pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température du café à l'instant $n$, avec $T_n$ 
exprimé en degré Celsius et $n$ en minute. On a ainsi $T_0 = 80$. 

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques $n$ et $n + 1$ par l'égalité: 

\[T_{n+1} - T_n = k\left(T_n - M\right)\] 

où $k$ est une constante réelle. 

Dans la suite de la partie A, on choisit $M = 10$ et $k = - 0,2$. 

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n  -10\right)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %D'après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite $\left(T_n\right)$ ? .
Le café est chaud au départ, dans une pièce dont la température est fraiche ; le café va refroidir et sa température va aller vers celle de la pièce, donc la suite est décroissante.

\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ :\: $T_{n+1} = 0,8 T_n + 2$. 
Pour tout $n$, $T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n  -10\right)\Leftrightarrow T_{n+1}=\boxed{\textcolor{red}{T_n- 0,2 \left(T_n  -10\right)-0,8T_n+2}}$.

\item On pose, pour tout entier naturel $n$:\: $u_n = T_n - 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.
		Pour tout $n$, $u_{n+1}=T_{n+1}-10=0,8T_n+2-10=0,8T_n-8=0,8\left(T_n-10\right)=0,8u_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,8u_n}}$.\\
		La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, de raison $q=0,8$ et de premier terme \\
		$u_0=T_0-10=80-10=70$.
		
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n = 70 \times 0,8^n + 10$. 
		On en déduit que, pour tout $n$, $u_n=u_0q^n=70\times 0,8^n$ donc, $\boxed{\textcolor{red}{T_n=u_n+10=70 \times 0,8^n + 10}}$.
		
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(T_n\right)$. 
		$-1<0,8<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,8^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}T_n=10}}$.
	\end{enumerate}
	
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline
Tant que $T \geqslant 40$\\ 
\hspace{0.8cm}$T\gets 0,8T+2$\\
\hspace{0.8cm}$ n \gets n+1$\\ 
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Au début, on affecte la valeur $80$ à la variable $T$ et la valeur $0$ à la variable $n$. 

%Quelle valeur numérique contient la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? 
On obtient les valeurs 80~;~66~;~54,8~;~45,84~;~38,672.\\
À la fin de l'algorithme, $n$ vaut 4.

		\item %Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. 
		\fbox{\textcolor{red}{Au bout de 4 minutes, la température du café est tombée à 40 \degre C}}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}

\medskip 

Dans cette partie, pour tout réel $t$ positif ou nul, on note $\theta(t)$ la température du café à l'instant $t$, 
avec $\theta(t)$ exprimé en degré Celsius et $t$ en minute. On a ainsi $\theta(0) = 80$. 

\medskip

Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que $\theta$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par 
l'égalité : 

\[\theta'(t)= - 0,2(\theta(t) - M). \]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $M = 0$. On cherche alors une fonction $\theta$ dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ vérifiant $\theta(0) = 80$ et, pour tout réel $t$ de cet intervalle : $\theta'(t) = - 0,2\theta(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Si $\theta$ est une telle fonction, on pose pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$f(t) = \dfrac{\theta(t)}{\text{e}^{- 0,2t}}$. 

%Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, $f'(t) = 0$. 
$f$ est un quotient : $f'(t)=\dfrac{\theta'(t)\times \mathrm{e}^{-0,2t}-\theta(t)\times \left(-0,2\mathrm{e}^{-0,2t}\right)}{\left(\mathrm{e}^{-0,2t}\right)^2}=\dfrac{-0,2\theta(t)\mathrm{e}^{-0,2t}+0,2t\theta(t)\mathrm{e}^{-0,2t}}{\left(\mathrm{e}^{-0,2t}\right)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.

		\item %En conservant l'hypothèse du \textbf{a.}, calculer $f(0)$. 
		$f(0)=\dfrac{80}{1}=80$.

%En déduire, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ , une expression de $f(t)$, puis de $\theta(t)$. 
Puisque $f'(t)=0$ pour tout $t$, $f$ est \textbf{\textcolor{red}{constante}}, donc, pour tout $t$, $f(t)=f(0)=80$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\theta(t)=80\mathrm{e}^{-0,2t}}}$.

		\item %Vérifier que la fonction $\theta$ trouvée en \textbf{b.} est solution du problème. 
		$\theta(0)=80$ et $\theta'(t)=80\times \left(-0,2\mathrm{e}^{-0,2t}\right)=-0,2\theta(t)$ donc $\theta$ est solution du problème.
	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on choisit $M = 10$. On admet qu'il existe une unique fonction $g$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, modélisant la température du café à tout instant positif $t$, et que, pour tout $t$ de 
l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : 

\[g(t)=10 + 70\text{e}^{-0,2t},\: \text{où }\: t\: \text{est exprimé en minute et}\: g(t) \:\text{en degré Celsius.} \]

Une personne aime boire son café à $40$~\degres C. 

%Montrer qu'il existe un unique réel $t_0$ dans $[0~;~+\infty[$ tel que $g\left(t_0\right) = 40$. 
$g$ est dérivable ; $g'(t)=70\times \left(-0,2\mathrm{e}^{-0,2t}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-14\mathrm{e}^{-0,2t}<0}}$ donc $g$ est strictement décroisante sur $[0~;~+\infty[$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g$ est continue (dérivable donc continue ou somme, produit et composée de fonctions continues)

\item $g(0)=80>40$

\item $\lim_{t\rightarrow +\infty}g(t)=10<40$ car $\lim_{t\rightarrow +\infty}(-0,2t)=-\infty$ donc $\lim_{t\rightarrow +\infty}70\mathrm{e}^{-0,2t}=\lim_{T\rightarrow -\infty}70\mathrm{e}^{T=0}$
\end{enumerate}

D'après le \textbf{\textcolor{red}{théorème des valeurs intermédiaires}}, l'équation $g(t)=40$ a au moins une solution. Comme la fonction est décroissante, cette solution est unique ; on la note $t_0$.
%Donner la valeur de $t_0$ arrondie à la seconde. 
À la calculatrice, on trouve $t_0=4,236$ min, donc environ 4 min 14 s.\\
Le café est à une température de 40 \degre au bout de \textbf{\textcolor{red}{4 min 14 s}} environ.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  