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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Convexité d'une fonction}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Activité B page 1}}

\subsection{\textcolor{blue}{Fonction convexe}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si la dérivée $f'$ est elle-même dérivable, on note $f''$ la dérivée de $f'$, donc $f''=\left(f'\right)'$.
\end{bclogo}

\bigskip

{\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.\\
On dit que $f$ est \textbf{convexe} sur $I$ lorsque $\mathscr{C}_f$ est en dessous de chacune de ses sécantes entre deux points d'intersection.
\end{bclogo}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.65,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,9)
\psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200,linecolor=red]{-2.9}{3.9}{x^2}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-2,4)(2.3153827092276362,5.360997090190309)
\uput[r](2,4){$\mathscr{C}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,4)
\rput[bl](-1.92,4.2){$A$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2.3153827092276362,5.360997090190309)
\rput[bl](2.4,5.56){$B$}
\end{pspicture*}
\end{center}

C'est le cas de la fonction carré, représentée ci-dessus.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux fois dérivable.\\
Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est convexe sur $I$.

\item La courbe représentative de $f$ est entièrement située au-dessus de ses tangentes.

\item $f'$ est croissante sur $I$.

\item $f''$ est positive sur $I$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration partielle}} : montrons que si $f''$ est positive, $\mathscr{C}$ est au-dessus de ses tangentes.\\
Soit $a$ un réel de $I$ ; l'équation de la tangente est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=f(x)-\left[f'(a)(x-a)+f(a)\right]$ (différence des ordonnées d'un point de $\mathscr{C}$ et d'un point de la tangente en $a$ de même abscisse).\\
$g$ est deux fois dérivable comme différence de fonctions deux fois dérivables.\\
$g'(x)=f'(x)-f'(a)$ car la dérivée de la fonction affine $x\mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$ est $f'(a)$, coefficient directeur de la tangente.\\
Alors = $g''(x)=f''(x)$.\\
Par hypothèse, $f''(x)\geqslant 0$ donc $g''(x)\geqslant 0$.\\
On en déduit que $g'$ est croissante, avec $g'(a)=f'(a)-f'(a)=0$.\\
$g$ est donc décroissante pour $x\leqslant a$ puis croissante pour $x\geqslant a$, avec $g(a)=0$.\\
On en déduit le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&&a&&\\
\hline
g'(x)&&-&\z&&+&\\
\hline
\m{g(x)}&&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Le minimum de $g$ est 0, donc $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$.

\bigskip

\noindent $\mathscr{C}$ est bien au-dessus de sa tangente.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Illustration ci-dessous}}

\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.278243902439023,-10.190458536585366)(13.887648780487806,8.040995121951221)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-2)(10,9)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4}{9}{x^(2)/10}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue]{-4}{9}{(-1.2358401388309066--0.7030903608586613*x)/1}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](7.6624553858264495,0)(7.6624553858264495,5.871322253978077)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](7.6624553858264495,5.871322253978077)(0,5.871322253978077)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](7.6624553858264495,4.151558383453205)(0,4.151558383453205)
\psdots[dotstyle=*](3.5154518042933063,1.2358401388309062)
\rput[bl](3.629209756097562,1.4963707317073178){$A$}
\psdots[dotstyle=*](7.6624553858264495,5.871322253978077)
\rput[bl](7.758556097560977,6.119160975609757){$M$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](7.6624553858264495,0)
\rput[bl](7.758556097560977,0.19783414634146407){$x$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.6624553858264495,4.151558383453205)
%\rput[bl](7.758556097560977,4.353151219512196){$B$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0,5.871322253978077)
\uput[l](-0.3,5.87){$f(x)$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0,4.151558383453205)
\uput[l](-0.3,4.15){$f'(a)(x-a)+f(a)$}
%\rput[bl](3.8110048780487817,6.300956097560977){$i$}
%\rput[bl](3.8110048780487817,4.58688780487805){$j$}
\uput[d](3.52,0){$a$}
\uput[l](-0.2,1.24){$f(a)$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](3.52,0)(3.52,1.24)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,1.24)(3.52,1.24)
\uput[u](-2,0.4){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $f$ est concave si $f'$ est décroissante ou si $f''<0$


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Point d'inflexion}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente.\\
La fonction change alors de convexité ; elle passe de fonction convexe à concave oui réciproquement.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $I$.\\
La courbe $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion au point abscisse $a$ si, et seulement si, $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$.
\end{bclogo}


\subsection{\textcolor{blue}{Exemple 1}}
$f(x)=x^3$.\\
$f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=6x$ qui change de signe en 0.\\
$\mathscr{C}$ admet un point d'inflexion en 0. La courbe traverse sa tangente en O.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-8)(2,8)
\psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-8)(2,8)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-8)(2,8)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{2}{x^3}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{<->}(-0.5,0)(0.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Exemple 2}}
Soit la fonction  $f$définie sur  $\mathbb{R}$ par  $f(x)=x^3-6x^2+3x+1$.\\
Soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.\\
$f$ est deux fois dérivable sur  $\mathbb{R}$ et  $f''( x ) = 6x-12=6(x-2)$.\\
$f''$ s'annule donc une seule fois en changeant de signe en  $x=2$\\
Le point  M de coordonnées  (2~;~-9)est donc le seul point d'inflexion de la courbe, comme on peut le vérifier sur
sa représentation graphique.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-20)(6,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-20)(6,8)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-20)(5,4)
\psplot[linecolor=blue]{-1}{5.5}{x^3-6*x^2+3*x+1}
% \psplotTangent{2}{2}{\F}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1}{3}{9-9*x}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,-9)
\uput[r](2,-9){$M$}
  \end{pspicture}

\end{center}

\label{fin}
\end{document}  