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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/4}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction Baccalauréat S Amérique du Nord}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip


\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les
montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l'année écoulée
conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \numprint{2900}$~euros et d'écart-type $\sigma = \numprint{1250}$~euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l'entreprise, quelle est la probabilité
%que le montant du devis soit supérieur à \numprint{4000}~euros ?
$P(X\geqslant \mu)=P(\mu\leqslant X\leqslant 4000)+P(X\geqslant 4000)$ donc $M(X\geqslant 4000)=P(X\geqslant \mu)-P(\mu\leqslant X\leqslant 4000)=0,5-P(\mu\leqslant X\leqslant 4000)=0,5-P(2900\leqslant X\leqslant 4000)$.

À la calculatrice, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{P(X\geqslant 4000)\approx 0,189}}$.

\item %Afin d'améliorer la rentabilité de son activité, l'entrepreneur décide de ne pas donner suite à 10\,\% des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimum d'un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l'euro près.
On cherche à la calculatrice le nombre $\alpha$ tel que $P(x\leqslant \alpha)\leqslant 0,1$ (Sur TI82, on tape FracNormale(0.1,2900,1250).

On trouve $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx \numprint{1298}}}$.

Pour qu'un devis soit pris en compte, son montant minimal doit être de \numprint{1298} \euro
\end{enumerate}

\textbf{\bigskip}

\textbf{Partie B}

\medskip

Ce même entrepreneur décide d'installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages
indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier
appelé \og dossier spam \fg. Le fabricant affirme que 95\,\% des spams sont déplacés. De son côté, l'entrepreneur
sait que 60\,\% des messages qu'il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il
constate que 58,6\,\% des messages sont déplacés dans le dossier spam.
Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$D$ : \og le message est déplacé \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$S$ : \og le message est un spam \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}


\medskip

D'après l'énoncé, on a : 
$\begin{cases}p(S)=0,6\\ p_S(D)=0,95\\p(D)=0,586\end{cases}$.

Récapitulons la situation par un arbre pondéré :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $0,95$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $0,05$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $$}
}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(S \cap D)$.
$P(S \cap D)=P_S(D)\times P(S)=0,95\times 6=0,57$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P(S \cap D)=0,57}}$.

\item On choisit au hasard un message qui n'est pas un spam. Montrer que la probabilité qu'il soit
déplacé est égale à $0,04$.

$P_{\overline{S}}(D)=\dfrac{P\left(D\cap\overline{S}\right)}{P\left(\overline{S}\right)}$.

Or $D=(D\cap S)\cup\left(D\cap\overline{S}\right)$ (réunion d'événements incompatibles) donc $P(D)=P(D\cap S)+P\left(D\cap\overline{S}\right)$ d'où $P\left(S\cap \overline{D}\right)=P(D)-P(S\cap D)=0,586-0,57=0,016$.

On en déduit : $P_{\overline{S}}(D)=\dfrac{0,016}{0,4}=\dfrac{0,16}{4}=0,04$ : $\boxed{\textcolor{red}{P_{\overline{S}}(D)=0,04}}$.

\item On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit
un spam ?

$P_{\overline{D}}\left(S\right)=\dfrac{P\left(S\cap\overline{D}\right)}{P\left(\overline{D}\right)}=\dfrac{P_S\left(\overline{D}\right)\times P(S)}{P\left(\overline{D}\right)}=\dfrac{0,6\times 0,05}{1-0,586}=\dfrac{0,03}{0,414}=\dfrac{30}{414}=\dfrac{5}{69}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P_{\overline{S}}(D)=\dfrac{5}{69}}}$.

\item Pour le logiciel choisi par l'entreprise, le fabricant estime que 2,7\,\% des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l'efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés.
Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une semaine.
%
%Ces résultats remettent-ils en cause l'affirmation du fabricant?

La proportion de messages fiables déplacés est $p=2,7\:\%=0,027$.
La taille de l'échantillonnage est $n=231$.

$\begin{cases}n=231\geqslant 30\\numprint=231\times 0,027=6,237\geqslant 5\\n(1-p)=231\times 0,973=224,763\geqslant 5\end{cases}$.

Les conditions pour trouver l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% sont réunies :

Cet intervalle est : 

$I_{0,95}=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\boxed{\textcolor{red}{\approx [0,0061~;~0,0479]}}$.

La fréquence (observée) de messages fiables déplacés est $f=\dfrac{13}{231}\approx 0,056\notin I_{0,95}$.

Le résultat du contrôle \textbf{\textcolor{red}{remet en question}} l'hypothèse au seuil de 95\:\%
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}



\subsection{\hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L'ouverture du
mur d'enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué
de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \leqslant 2$.

\medskip

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme
illustrée par la figure ci-contre. Les côtés [AD] et
[BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail.
Entre les points A et B, le haut des vantaux a
la forme d'une portion de courbe.\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,2.5)
\psline(-4,1.5)(-2,1.5)(-2,0)(-4,0)
\psline(4,1.5)(2,1.5)(2,0)(4,0)
\psline(-2,0)(2,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\psline{<->}(0,0.2)(2,0.2) \uput[u](1,0.2){$a$}
\rput(-1,0.8){1\up{er} vantail}\rput(1,0.8){2\up{e} vantail}
\rput(-3,0.8){mur}\rput(3,0.8){mur}
\uput[ul](-2,1.8){A}\uput[ur](2,1.8){B}
\uput[ur](2,0){C}\uput[ul](-2,0){D}
\uput[u](0,2){S}
\psline(0,0)(0,2)
\end{pspicture}

\medskip

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur
$[-2~;~2]$ par:

\[f(x) = - \dfrac{b}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} +  \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0.\]

\parbox{0.55\linewidth}{Le repère est choisi de façon que les points A, B, C
et D aient pour coordonnées respectives $(-a~;~f( -a))$,
$(a~;~f(a))$, $(a~;~0)$ et $(-a~;~0)$ et on note S le sommet de la
courbe de $f$, comme illustré ci-contre.} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](-1.7,1.55){A}\uput[ur](1.7,1.55){B}\uput[d](1.7,0){C}\uput[d](-1.7,0){D}
\uput[ur](0,2){S}
\psline[linestyle=dashed](-1.7,0)(-1.7,1.55)\psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.55)
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$,\: $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
Pour tout $x\in[-2~;~2]$, $f(-x)=-\dfrac{b}{8}\left(\mathrm{e}^{\dfrac{-x}{b}}+\mathrm{e}^{\dfrac{x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4}=f(x)$, donc $f(-x)=f(x)$.

La fonction $f$ est donc paire et la courbe représentative de $f$ est symétiruqe par rapport à l'axe des ordonnées.

\item %On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~2]$ :
%
%\[f'(x) = - \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right).\]
$f$ est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables sur $[-2~;~2]$.

On sait que la dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ sur un intervalle $I$ est $w'\mathrm{e}^{w}$ si $w$ est une fonction dérivable sur $I$.

On en déduit que $f'(x)=-\dfrac{b}{8}\left[\dfrac{1}{b}\mathrm{e}^{\frac{x}{b}-\dfrac{1}{b}\mathrm{e}^{-\frac{x}{b}}}\right]+0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=- \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right)}}$

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ et en déduire les coordonnées du point S en fonction de $b$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow \mathrm{e}^{\frac{x}{b}=\mathrm{e}^{-\frac{x}{b}}\Leftrightarrow \dfrac{x}{b}=-\dfrac{x}{b}\Leftrightarrow 2\dfrac{x}{b}=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=0}}}$.

$f'(x)$ est du signe opposé à celui de $(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}$.

Or $(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}>0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (\text{e}^{\frac{x}{b}} > \text{e}^{-\frac{x}{b}}\Leftrightarrow \dfrac{x}{b}>-\dfrac{x}{b}$ (car la fonction $\exp$ est croissante), donc $x>0$.

$f(0)=\dfrac{9-b}{4}$.

Le tableau de variation de $f$ est donc :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&0&&2\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&f(-2)&\c&\h{\dfrac{9-b}{4}}&\d&f(2)\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Le sommet $S$ a donc pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{S\left(0~;~\dfrac{9-b}{4}\right)}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $b = 1$.
On doit avoir $\dfrac{9-b}{4}=2$ donc $9-b=8$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{b=1}}$.

\item %Montrer que l'équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~2]$ et en déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
La fonction a alors pour expression : $f(x)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)+\dfrac{9}{4}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue comme somme et composée de fonctions continues.

\item $f(0)=2>1,5$

\item $f(2)\approx 1,34<1,5$
\end{enumerate}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires , l'équation $f(x)=1,5$ admet une solution sur l'intervalle $[0~;~2]$ ; cell-ci est unique car $f$ est monotone sur cet intervalle. Notons-la $a$.

À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\alpha\approx 1,76}}$ (soit par encadrements syccessifs, soit en demandant à la calculatrice de résoudre de manière approchée l'équation ).

\item Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d'automatiser son portail si la masse d'un vantail excède $60$~kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$~kg.m$^{-2}$.% Que décide le client ?
On calcule l'aire d'un vantail ; celle-ci vaut $\mathscr{A}=\int_0^{a}f(x)\text{ d}x$ (en unités d'aire).

Une primitive de $f$ est $F$ définie par $F(x)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)+\dfrac{9}{4}x$.

On en déduit : \\
$\mathscr{A}=F(a)-F(0)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{-a}+\dfrac{9}{4}a\right)-\left(-\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}^{1,8}+\mathrm{e}^{-1,8}+\dfrac{9}{4}a\right)-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\approx \boxed{\textcolor{red}{3,314\text{m}^{2}}}$.

La densité est de 20 kg par m$^2$ donc la masse d'un vantail est $m\approx 20\times 3,314\approx \boxed{\textcolor{red}{66,28}}$ kg, donc plus de 60.

Le client doit faire automatiser son portail.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On conserve les valeurs $a = 1,8$ et $b = 1$.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point F d'abscisse $1$.

\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
\psframe(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](0,2){S} 
\uput[ur](2,2){E} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
\rput(1,1){vantail}
\end{pspicture}&\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
\psframe(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](0,0){O} \uput[l](0,2){S} \uput[ul](0,2.2){G} 
\uput[r](2,1.55){H} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
\rput(1,1){vantail}
\psline(0,2.2)(2,1.55)
\end{pspicture}\\
Forme 1 : découpe dans un rectangle &Forme 2 : découpe dans un trapèze\\
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

%La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.
%
%Évaluer l'économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la
%forme 1.
%
%\smallskip
%
%\emph{On rappelle la formule donnant l'aire d'un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze :}
%
%\[\text{Aire } = \dfrac{b+B}{2} \times  h.\]

Avec la forme 1, l'aire de bois utilisée est $OL\times OS=1,8\times 2=3,6$. 

L'aire perdue est $\mathscr{A}_1\approx 3,6-3,314\approx 0,286~\text{m}^2$.

\bigskip

Avec la forme 2 :

L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 est $\boxed{\textcolor{red}{y=f'(1)(x-1)+f(1)}}$.

Ordonnée de $G$ : on remplace $x$ par 0 : $y_G=f(1)-f'(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}+\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}\right)=\dfrac{9-\mathrm{e}^{-1}}{4}\approx 2,158$.

\bigskip

Ordonnée de $H$ : on remplace $x$ par 1,8 dans l'équation de la tangente :

 $y_H=f'(1)(1,8-1)+f(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}-\dfrac{0,8}{8}\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}\right)=\dfrac{-1,8\mathrm{e}-0,2\mathrm{e}^{-1}+18}{8}\approx 1,629$.
 
 On déduit que l'aire du trapèze OCGH vaut environ $\dfrac{1,8\times (2,158+1,629)}{2}\approx 3,408$.
 
 L'aire perdue est alors $\mathscr{A}_2\approx 3,408-3,414\approx 0,084~\text{m}^2$.
 
 On économise donc $\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2\approx 0,286-0,094=0,191~\text{m}^2$ de bois en choisissant la forme 2.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs.

On admet qu'une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_0 > 1$,
\item[$\bullet~~$]pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n \geqslant 0$,
\item[$\bullet~~$]pour tout $n > 0$, \:$u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit $u_0 = 3$.% Déterminer $u_1$ et $u_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On doit avoir $u_0+u_1=u_0u_1$ donc $3+u_1=3u_1$ d'où $2u_1=3$ qui donne $u_1=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}}$

\item On doit avoir $u_0+u_1+u_2=u_0u_1u_2$ donc $3+\dfrac{3}{2}+u_2=3\times \dfrac{3}{2}\times u_2$ donc $\dfrac{9}{2}+u_2=\dfrac{9}{2}u_2$.

On en déduit $\dfrac{7}{2}u_2=\dfrac{9}{2}$ donc $u_2=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{7}}}$.

On a pour $u_0=3$  : $\boxed{\textcolor{red}{u_1=\dfrac{3}{2}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_2=\dfrac{9}{7}}}$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.

On a en particulier $s_1 = u_0$·
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout entier $n > 0$, \:$s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
		Pour tout $n\geqslant 1$, $s_{n+1}=u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}+u_n=s_n+u_n$ ; $\boxed{\textcolor{red}{s_{n+1}=s_n+u_n}}$
		
		Comme $s_n=u_0u_1\cdots\times u_{n-1}$, on remarque que $\boxed{\textcolor{red}{s_{n+1}=s_n\times u_n}}$.
		
		Tous les termes de la suite sont positifs, donc $s_n=u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}\geqslant u_0>1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{s_n>1}}$.
		
		\item %En déduire que pour tout entier $n > 0$,\[u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}.\]
		Pour tout $n\geqslant 1$, $s_{n<=1}=s_n+u_n=s_nu_n$ donc $s_n=s_nu_n-u_n=\left(s_n-1\right)u_n$.
		
		On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}}}$ (pour tout $n\geqslant 1$)
		
		\item %Montrer que pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n > 1$.
		Pour tout $n\geqslant 1$, $u_n-1=\dfrac{s_n}{s_n-1}-1=\dfrac{1}{s_n-1}>0$ puisque $s_n>1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n>1}}$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme ci-contre, on veut calculer
le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
	

\begin{enumerate}
\item 
%Recopier et compléter la partie traitement de l'algorithme ci-contre.
Complétons l'algorithme :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|r X|}\hline
\textbf{Entrée }: 		&Saisir $n$\\
						&Saisir $u$\\
\textbf{Traitement }: 	&$s$ prend la valeur $u$\\
						&Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
						&\begin{tabular}{m{0.1cm}|l}
						&$u$ prend la valeur $\textcolor{red}{\dfrac{s}{s-1}}$\\
						&$s$ prend la valeur $\textcolor{red}{s+u}$\
										\end{tabular}\\
						&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} : 		&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies
au millième de $u_n $pour différentes valeurs de l'entier $n$ :
	
\begin{center}
%\begin{\small}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &0& 5& 10 &20 &30 &40\\ \hline
$u_n$& 3 &\small 1,140 &\small 1,079 &\small 1,043 &\small 1,030 &\small 1,023\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{\small}
\end{center}

%Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?	
Il semble que la suite soit convergente et converge vers 1.
\end{enumerate}



\item
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que pour tout entier $n > 0$,\: $s_n > n$.
		Démontrons par récurrence sur $n$ que $s_n>n$ pour tout $n\geqslant 1$.
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Initialisation : $s_1=u_0>1$ par hypothèse donc la propriété est vraie pour $n=1$.

\item Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un $n$ quelconque ($n\geqslant 1$), donc $s_n>n$.

Alors $s_{n+1}=s_n+u_n>n+u_n$ d'après l'hypothèse de récurrence ; or $u_n>1$ donc $s_{n+1}>n+u_n>n+1$ puisque $u_n>1$.

La propriété est donc héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété $s_n>n$ est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

		\item %En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
		$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ ; d'après un théorème de comparaison, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=+\infty}}$.
		
		On a $u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}=\dfrac{s_n}{s_n\left(1-\frac{1}{s_n}\right)}=\dfrac{1}{1-\frac{1}{s_n}}$.
		
		Comme $\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=+\infty$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{s_n}\right)=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=1}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un particulier s'intéresse à l'ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand
le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un
repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires
SEF et SFG.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.
\item[$\bullet~~$]Les plans (SOC) et (EAB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).
\item[$\bullet~~$]Les arêtes [UV) et [EF] des toits sont parallèles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le point K appartient au segment [SE], le plan (UVK) sépare la véranda en deux zones, l'une
éclairée et l'autre ombragée. Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP
qui est la limite ombre-soleil.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(5.5,5.5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,2.5)(-0.7,2.1)(0.15,1.95)(1.8,1)(1.2,-1)(2.6,-0.6)(2.6,1.3)%SGCPNMS
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.3,-0.1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0.4,-0.15)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](-0.3,-0.1)(-2.2,-0.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0.4,-0.15)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,0.5)(0,2.5)
\pspolygon(0,2.5)(2.6,1.3)(2.6,-0.6)(0.4,-1.2)(-2.2,-0.5)(-2.2,1.3)%SGCBAES
\psline(-0.7,2.1)(0,4.35)%KU
\psline(-2.2,1.3)(0.4,0.6)(2.6,1.3)%EFG
\psline(0,2.5)(0,4.35)%SU
\psline(1.7,5.5)(0,4.35)(5.5,3.2)%%--UV
\psline(-0.7,2.1)(0.15,1.95)(1.8,1)(1.2,-1)%KMNP
\pspolygon(0.8,3.4)(0.8,2.3)(1.8,2.1)(1.8,3.2)
\psline(1,3.4)(1,2.3) \psline(1.5,3.25)(1.5,2.15)
\psline(0.4,-1.2)(0.4,0.6)(0,2.5)%BFS
\uput[ul](-2.2,-0.5){A} \uput[d](0.4,-1.2){B} \uput[ur](2.6,-0.6){C} 
\uput[d](0,0){O} \uput[ul](-2.2,1.3){E} \uput[ur](0.4,0.6){F} 
\uput[ur](2.6,1.3){G} \uput[ur](0,2.5){S} \uput[ul](-0.7,2.1){K} 
\uput[ur](0.15,1.95){M} \uput[ul](0,4.35){U} \uput[u](5.5,3.2){V}
\uput[dl](1.8,1){N} \uput[dr](1.2,-1){P}
\uput[d](-0.3,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[r](0.3,0){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[l](-0.1,0.3){$\overrightarrow{k}$}
\psline(2.6,-0.6)(4.4,-1) 
\psline(-2.2,-0.5)(-3.5,-0.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sans calcul, justifier que :
	\begin{enumerate}
		\item %le segment [KM] est parallèle au segment [UV] ;
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 
D’après les données , la droite (UV) du plan (UVK) et la droite (EF) du plan (SEF) sont parallèles. 

\item Les plans (UVK) et (SEF) sont sécants selon la droite (KM).

\item D’après le théorème du toit, les droites (KM), (UV) et (EF) sont parallèles.
\end{enumerate}
		\item le segment [NP] est parallèle au segment [UK].
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les plans (SOA) et (GCB) sont strictement parallèles.

\item Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP donc le plan (UKV) coupe le plan (SEA) selon la droite (UK).

\item Par conséquent, le plan (UKV) coupe le plan (GCB) selon une droite qui parallèle à (UK) et les droites (UK) et (NP) sont parallèles.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\item Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. Les coordonnées
des différents points sont les suivantes : A(4~;~0~;~0), B(4~;~5~;~0), C(0~;~5~;~0),
	
E(4~;~0~;~2, 5), F(4~;~5~;~2,5), G(0~;~5~;~2,5), S(0~;~0~;~3,5), U(0~;~0~;~6) et V(0~;~8~;~6).
	
On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan
(UV K) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
	\begin{enumerate}
		\item Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse $1,2$. 
		%Vérifier que les coordonnées du point K sont (1,2~;~0~;~3,2).
		On va pour cela utiliser le fait que le point K appartient à la droite (SE). 
		
		Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$, on a : 
		
		$\overrightarrow{SE}\begin{pmatrix}4\\0\\-1\end{pmatrix}$. La droite $(SE)$ passe par $S0~;~0~;~3,5$ donc une représentation graphique de la droite $(SE)$ est : \[\begin{cases}x=4t\\y=0\\z=-t+3,5\end{cases}, t\in\mathbb{R}\]
		L'abscisse de $K$ est 1,2, la valeur de $t$ correspondante vérifie $4t=1,2$ donc $t=0,3$.
		
		On en déduit que les coordonnées de $K$ sont $\boxed{\textcolor{red}{K(1,2~;~0~;~3,2)}}$.
		
		\item %Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (7~;~0~;~3) est un vecteur normal au plan (UVK) et en déduire une équation cartésienne du plan (UVK).
		Soit $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix}7\\0\\3)\end{pmatrix}$.
		
		On a $\overrightarrow{UV}\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{UK}\begin{pmatrix}1,2\\0\\-2,8\end{pmatrix}$.
		
		Ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc définissent le plan $(UVK)$.
		
		$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{UV}=0+0+0=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{UV}$.
		
		$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{UK}=7\times 1,2+0+3\times (-2,8)=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{UK}$.
		
		$\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(UVK)$ donc c'est un vecteur normal à ce plan.
	
	une équation cartésienne de ce plan est $7\left(x-x_U\right)+0\left(y-y_U\right)+3\left(z-z_U\right)=0\Leftrightarrow 7x++3\left(z-6\right)=0$	qui donne $7x+3z-18=0$.
	
	Une équation du plan $(UVK)$ est : $\boxed{\textcolor{red}{7x+3z-18=0}}$.
		
		\item %Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UVK) avec la droite (FG).
		Soit N l'intersection du plan (UVK) avec la droite (FG).
		
		$\overrightarrow{FG}\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}$ et F(4~;~5~;~2,5) donc une représentation  paramétrique de $(FG)$ est $\begin{cases}x = - 4 t + 4\\ y = 5\\z=2,5\end{cases}$.
		
		On remplace dans l'équation du plan $(UVK)$ : on en déduit :
		
		$7(-4t+4)+3\times 2,5-18=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{t=\dfrac{5}{8}}}$.
		
		Les coordonnées de $N$ sont donc $N\left(\dfrac{3}{2}~;~5~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
		
		\item %Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
		Pour construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  on construit donc la droite parallèle à (EF) passant par le point K. Elle coupe le segment [SF] en M ;

\item  on trace le segment [MN] ;

\item  on trace la droite parallèle à la droite (UK) passant par le point N. Elle coupe le segment [BC] en P ;

\item  on trace le segment [NP].

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Afin de faciliter l'écoulement des eaux de pluie, l'angle du segment [SG] avec l'horizontale
doit être supérieur à 7\degres. %Cette condition est-elle remplie ?

On appelle $G_1$ le projeté orthogonal de G sur la droite (SO), c’est-à-dire le point du segment $[SO]$ tel que le triangle $SGG_1$ soit rectangle en $G_1$.

Le point $G_1$ a la même cote que le point $G(0~;~5~;~2,5)$.

Alors : $SG_1=3,5-2,5=1$ ; $G_1G=y_G=5$.

Dans le triangle rectangle $SGG_1$ : $\tan\widehat{SGG_1}=\dfrac{SG_1}{G_1G}=\dfrac{1}{5}$ ; on en déduit que $\widehat{SGG_1}\approx 11$ \degres. La condition est donc remplie.
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}
