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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Sujet Amérique du Nord juin 2017}}
\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième.\\
Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}

\textbf{\bigskip}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les
montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l'année écoulée
conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \numprint{2900}$~euros et d'écart-type $\sigma = \numprint{1250}$~euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l'entreprise, quelle est la probabilité
que le montant du devis soit supérieur à \numprint{4000}~euros ?
\item Afin d'améliorer la rentabilité de son activité, l'entrepreneur décide de ne pas donner suite à 10\,\% des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être
le montant minimum d'un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce
montant à l'euro près.
\end{enumerate}

\textbf{\bigskip}

\textbf{Partie B}

\medskip

Ce même entrepreneur décide d'installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages
indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier
appelé \og dossier spam \fg. Le fabricant affirme que 95\,\% des spams sont déplacés. De son côté, l'entrepreneur
sait que 60\,\% des messages qu'il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il
constate que 58,6\,\% des messages sont déplacés dans le dossier spam.
Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$D$ : \og le message est déplacé \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$S$ : \og le message est un spam \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(S \cap D)$.
\item On choisit au hasard un message qui n'est pas un spam. Montrer que la probabilité qu'il soit
déplacé est égale à $0,04$.
\item On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit
un spam ?
\item Pour le logiciel choisi par l'entreprise, le fabricant estime que 2,7\,\% des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l'efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés.
Il trouve 13 messages fiables parmi les 231 messages déplacés pendant une semaine.

Ces résultats remettent-ils en cause l'affirmation du fabricant?
\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L'ouverture du
mur d'enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué
de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \leqslant 2$.

\medskip

\parbox{0.49\linewidth}{Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme
illustrée par la figure ci-contre. Les côtés [AD] et
[BC] sont perpendiculaires au seuil [CD] du portail.
Entre les points A et B, le haut des vantaux a
la forme d'une portion de courbe.} \hfill
\parbox{0.49\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,2.5)
\psline(-4,1.5)(-2,1.5)(-2,0)(-4,0)
\psline(4,1.5)(2,1.5)(2,0)(4,0)
\psline(-2,0)(2,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\psline{<->}(0,0.2)(2,0.2) \uput[u](1,0.2){$a$}
\rput(-1,0.8){1\up{er} vantail}\rput(1,0.8){2\up{e} vantail}
\rput(-3,0.8){mur}\rput(3,0.8){mur}
\uput[ul](-2,1.8){A}\uput[ur](2,1.8){B}
\uput[ur](2,0){C}\uput[ul](-2,0){D}
\uput[u](0,2){S}
\psline(0,0)(0,2)
\end{pspicture}
}
\medskip

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur
$[-2~;~2]$ par:

\[f(x) = - \dfrac{b}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} +  \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0.\]

\parbox{0.55\linewidth}{Le repère est choisi de façon que les points A, B, C
et D aient pour coordonnées respectives $(-a~;~f( -a))$,
$(a~;~f(a))$, $(a~;~0)$ et $(-a~;~0)$ et on note S le sommet de la
courbe de $f$, comme illustré ci-contre.} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.5)(2.5,2.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](-1.7,1.55){A}\uput[ur](1.7,1.55){B}\uput[d](1.7,0){C}\uput[d](-1.7,0){D}
\uput[ur](0,2){S}
\psline[linestyle=dashed](-1.7,0)(-1.7,1.55)\psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.55)
\end{pspicture}}

\medskip

\newpage


\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$,\: $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~2]$ :

\[f'(x) = - \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right).\]

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ et en déduire les coordonnées du point S en fonction de $b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $b = 1$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~2]$ et en déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
\item Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d'automatiser son portail si la masse d'un vantail excède $60$~kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$~kg.m$^{-2}$. Que décide le client ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On conserve les valeurs $a = 1,8$ et $b = 1$.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point F d'abscisse $1$.

\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
\psframe(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](0,2){S} 
\uput[ur](2,2){E} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
\rput(1,1){vantail}
\end{pspicture}&\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(2.5,2.5)
\psframe(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{2}{2.25 0.125 2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add mul sub}
\uput[ul](0,0){O} \uput[l](0,2){S} \uput[ul](0,2.2){G} 
\uput[r](2,1.55){H} \uput[r](2,1.3){B} \uput[ur](2,0){C} 
\rput(1,1){vantail}
\psline(0,2.2)(2,1.55)
\end{pspicture}\\
Forme 1 : découpe dans un rectangle &Forme 2 : découpe dans un trapèze\\
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.

Évaluer l'économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la
forme 1.

\smallskip

\emph{On rappelle la formule donnant l'aire d'un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze :}

\[\text{Aire } = \dfrac{b+B}{2} \times  h.\]

\vspace{0,5cm}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs.

On admet qu'une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_0 > 1$,
\item[$\bullet~~$]pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n \geqslant 0$,
\item[$\bullet~~$]pour tout $n > 0$, \:$u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
\item Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.

On a en particulier $s_1 = u_0$·
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier $n > 0$, \:$s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
		\item En déduire que pour tout entier $n > 0$,

\[u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}.\]
		
		\item Montrer que pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n > 1$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme ci-contre, on veut calculer
le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
	
\parbox{0.48\linewidth}{
\textbf{a.} Recopier et compléter la partie traitement
de l'algorithme ci-contre.
	
\textbf{b.} Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies
au millième de $u_n $pour différentes valeurs de l'entier $n$ :
	
\begin{center}
%\begin{\small}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &0& 5& 10 &20 &30 &40\\ \hline
$u_n$& 3 &\small 1,140 &\small 1,079 &\small 1,043 &\small 1,030 &\small 1,023\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{\small}
\end{center}

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?	} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|r X|}\hline
\textbf{Entrée }: 		&Saisir $n$\\
						&Saisir $u$\\
\textbf{Traitement }: 	&$s$ prend la valeur $u$\\
						&Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
						&\begin{tabular}{m{0.1cm}|l}
						&$u$ prend la valeur \ldots\\
						&$s$ prend la valeur \ldots\\
										\end{tabular}\\
						&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} : 		&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier $n > 0$,\: $s_n > n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un particulier s'intéresse à l'ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand
le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un
repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires
SEF et SFG.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Les plans (SOA) et (SOC) sont perpendiculaires.
\item[$\bullet~~$]Les plans (SOC) et (EAB) sont parallèles, de même que les plans (SOA) et (GCB).
\item[$\bullet~~$]Les arêtes [UV) et [EF] des toits sont parallèles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le point K appartient au segment [SE], le plan (UVK) sépare la véranda en deux zones, l'une
éclairée et l'autre ombragée. Le plan (UVK) coupe la véranda selon la ligne polygonale KMNP
qui est la limite ombre-soleil.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(5.5,5.5)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,2.5)(-0.7,2.1)(0.15,1.95)(1.8,1)(1.2,-1)(2.6,-0.6)(2.6,1.3)%SGCPNMS
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.3,-0.1)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0.4,-0.15)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](-0.3,-0.1)(-2.2,-0.5)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0.4,-0.15)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,0.5)(0,2.5)
\pspolygon(0,2.5)(2.6,1.3)(2.6,-0.6)(0.4,-1.2)(-2.2,-0.5)(-2.2,1.3)%SGCBAES
\psline(-0.7,2.1)(0,4.35)%KU
\psline(-2.2,1.3)(0.4,0.6)(2.6,1.3)%EFG
\psline(0,2.5)(0,4.35)%SU
\psline(1.7,5.5)(0,4.35)(5.5,3.2)%%--UV
\psline(-0.7,2.1)(0.15,1.95)(1.8,1)(1.2,-1)%KMNP
\pspolygon(0.8,3.4)(0.8,2.3)(1.8,2.1)(1.8,3.2)
\psline(1,3.4)(1,2.3) \psline(1.5,3.25)(1.5,2.15)
\psline(0.4,-1.2)(0.4,0.6)(0,2.5)%BFS
\uput[ul](-2.2,-0.5){A} \uput[d](0.4,-1.2){B} \uput[ur](2.6,-0.6){C} 
\uput[d](0,0){O} \uput[ul](-2.2,1.3){E} \uput[ur](0.4,0.6){F} 
\uput[ur](2.6,1.3){G} \uput[ur](0,2.5){S} \uput[ul](-0.7,2.1){K} 
\uput[ur](0.15,1.95){M} \uput[ul](0,4.35){U} \uput[u](5.5,3.2){V}
\uput[dl](1.8,1){N} \uput[dr](1.2,-1){P}
\uput[d](-0.3,0){$\overrightarrow{\imath}$} \uput[r](0.3,0){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[l](-0.1,0.3){$\overrightarrow{k}$}
\psline(2.6,-0.6)(4.4,-1) 
\psline(-2.2,-0.5)(-3.5,-0.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sans calcul, justifier que :
	\begin{enumerate}
		\item le segment [KM] est parallèle au segment [UV] ;
		\item le segment [NP] est parallèle au segment [UK].
	\end{enumerate}
\item Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. Les coordonnées
des différents points sont les suivantes : A(4~;~0~;~0), B(4~;~5~;~0), C(0~;~5~;~0),
	
E(4~;~0~;~2, 5), F(4~;~5~;~2,5), G(0~;~5~;~2,5), S(0~;~0~;~3,5), U(0~;~0~;~6) et V(0~;~8~;~6).
	
On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan
(UV K) qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
	\begin{enumerate}
		\item Au moment le plus ensoleillé, le point K a pour abscisse $1,2$. Vérifier que les coordonnées du point K sont (1,2~;~0~;~3,2).
		\item Montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (7~;~0~;~3) est un vecteur normal au plan (UVK) et en déduire une équation cartésienne du plan (UVK).
		\item Déterminer les coordonnées du point N intersection du plan (UVK) avec la droite (FG).
		\item Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
	\end{enumerate}
\item Afin de faciliter l'écoulement des eaux de pluie, l'angle du segment [SG] avec l'horizontale
doit être supérieur à 7\degres. Cette condition est-elle remplie ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill  5 points}}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d'activités, le programme A : cirque - éveil musical, et le programme B : théâtre - arts plastiques.

À sa création en 2014, l'association compte $150$ enfants qui suivent tous le programme A.

Pour chacune des années suivantes, le nombre d'enfants inscrits dans l'association reste égal à $150$.

On dispose également des informations suivantes :

Chaque enfant ne peut suivre qu'un seul programme: soit le programme A, soit le programme B.

D'une année à l'autre, 20\,\% des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que 40\,\% choisissent le programme B. Les autres quittent l'association.

D'une année à l'autre, 60\,\% des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l'association.

Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

\smallskip

On modélise le nombre d'inscrits au programme A et le nombre d'inscrits au programme B durant l'année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne
$\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. On a donc $U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n + 1} = U_n M$ où $M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times  0,2^n &75 - 75 \times  0,2^n\end{pmatrix}$.
\item En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'association affecte à chaque enfant un  numéro à 6 chiffres $c_1c_2c_3c_4c_5k$. Les deux premiers chiffres représentent l'année de naissance de l'enfant les trois suivants sont attribués à l'enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

\setlength\parindent{0,8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] on effectue la somme $S = c_1 + c_3 + c_5 + a \times \left(c_2 + c_4\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
\item[$\bullet~~$]on effectue la division euclidienne de $S$ par 10, le reste obtenu est la clé $k$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Lorsqu'un employé saisit le numéro à 6 chiffres d'un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n'est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, on choisit a = 3.
	\begin{enumerate}
		\item Le numéro 111383 peut-il être celui d'un enfant inscrit à l'association ?
		\item L'employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro 08$c_3c_4c_5k$ est transformé en $11c_3c_4c_5k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
	\end{enumerate}
\item On note $c_1c_2c_3c_4c_5k$ le numéro d'un enfant. On cherche les valeurs de l'entier $a$ pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont intervertis. On suppose donc que les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont distincts.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$ si et seulement si $(a -1)\left(c_4 - c_3\right)$ est congru à 0 modulo 10.
		\item Déterminer les entiers $n$ compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre 1 et 9 tel que $np \equiv  0  \quad(10)$.
		\item En déduire les valeurs de l'entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l'interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}