\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx,colortbl}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les probabilités conditionnelles}}\end{center}

\subsection{}
$A$ et $B$ désignent deux événements d'un même univers.\\
Dans chacun des cas suivants calculer $p_A(B)$ et $p_B(A)$.\\
On utilise la formule : $\boxed{\textcolor{red}{p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p_B(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}}}$

\begin{enumerate}
\item  $p(A) = 0,4$, $p(B) = 0,3$ et $p(A \cap B) = 0,1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_A(B)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(A)}=\dfrac{0,1}{0,4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$

\item $p_B(A)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(B)}=\dfrac{0,1}{0,3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$
\end{enumerate}

\item $p(A) = 0,7$, $p(B)=0,5$ et $p(A \cap B) = 0,2 $.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_A(B)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(A)}=\dfrac{0,2}{0,7}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{7}}}$

\item $p_B(A)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(B)}=\dfrac{0,2}{0,5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}}}$
\end{enumerate}
\item 

\item $p(A) = 0,9$, $p(B) = 0,4$ et $p(A \cap B) = 0,3 $.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_A(B)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(A)}=\dfrac{0,3}{0,9}=\dfrac{3}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

\item $p_B(A)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(B)}=\dfrac{0,3}{0,4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
$A$ et $B$ désignent deux événements d'un même univers. \\
Dans chacun des cas suivants calculer $p(A  \cap  B)$.\\`
$p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$ donc, en calculant les produits en croix, on trouve : $o(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)$.\\
De même : $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)$

\begin{enumerate}
\item $p(A) = 0,5$ et p$_A(B) = 0,7 $.\\
Alors : $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=0,7\times 0,5=\boxed{\textcolor{red}{0,35}}$.

\item $p(B) = 0,2$ et $P_B(A) = 0,3 $.\\
Alors. : $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)=0,3\times 0,2=\boxed{\textcolor{red}{0,06}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
$A$ et $B$ désignent deux événements d'un même univers tels que $p(A) = 0,6$, $p(B) = 0,7$ et \\
$p(A \cup  B) = 0,9$.\\
%Déterminer $p_A(B)$ et $p_B(A).$ 
$p(A \cap B)=p(A)+p(B)-p(A \cup B)=0,6+0,7-0,9=\boxed{\textcolor{red}{0,4}}$.\\
Alors : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,4}{0,6}=\dfrac{4}{6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}}$.

\item $p_B(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,4}{0,7}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{7}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans une population, les individus sont répartis en 4 groupes sanguins: A, B, AB et O et à l'intérieur de chaque groupe en Rhésus + ou - selon le tableau suivant en pourcentages : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}>{\columncolor{yellow!30}}c|}
\hline
groupe &A &B &AB &O&Total\\
\hline
Rhésus +&38&8&3&36&85 \\
\hline
Rhésus-&7 &1 &1&6 &15\\
\hline
\rowcolor{blue!30}Total&45&9&4&42&\cellcolor{red!20}100\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Un individu est choisi au hasard.
\begin{enumerate}
\item %Calculer 
Par lecture directe du tableau, la probabilité  qu'il soit du groupe O sachant qu'il a un rhésus - est $p_{Rh-}(O)=\dfrac{6}{15}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}}}$

\item %qu'il ait un rhésus - sachant qu'il est du groupe O. 
De même, la probabilité  qu'il ait un rhésus - sachant qu'il est du groupe O est $\dfrac{6}{42}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{7}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}%https://olivierl.canoprof.fr/eleve/Distanciel/res/Probabilites_conditionnelles_exercices_corriges_annales.pdf

%On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports: la natation, le cyclisme et la course à pied.\\
%Fabien s'entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item chaque entraînement est composé d'un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
%
%\item lorsqu'il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de 0,4 ;
%
%\item lorsqu'il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de 0,8. 
%
%\end{enumerate}
%
%Un jour d'entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de 0,3. On note : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item  $C$ l'évènement : \og{}Fabien commence par une séance de course à pied \fg{};
%
%\item $V$ l'évènement : \og{}Fabien commence par une séance de vélo\fg{}  ;
%
%\item $N$ l'évènement : \og{}Fabien enchaîne par une séance de natation\fg{} . 
%
%\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item  %Faire un arbre de probabilités suivant représentant la situation.
Arbre :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$C$}\taput{$0,7$}}
	  { 
		  \TR{$N$}\taput{0,4}
		  \TR{$V$}\tbput{0,6}	   
	  }
	\pstree{\TR{$V$}\tbput{0,3}}
	  {
		  \TR{$N$}\taput{0,8}
		  \TR{$C$}\tbput{0,2}}}


\end{center}

\item %Quelle est la probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation ?
La probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation est :\\
$p(C \cap N)=p_C(N)\times p(C)=0,4\times 0,7=\boxed{\textcolor{red}{0,28}}$.

\item %Démontrer que: $p(N) =0,52$.
$N=(N \cap C) \cup (N \cap V)$ (réunion d'événements incompatibles).\\
Alors : $p(N)=p(N \cap C)+p(N \cap V)=0,28+0,8\times 0,3=0,28+0,24=\boxed{\textcolor{red}{0,52}}$.

\item %Sachant que Fabien n'a pas fait de séance de natation, quelle est la probabilité qu'il ait commencé son entraînement par une séance de vélo? 
On veut calculer $p_{}(V)$.\\
$p_{\overline{N}}(V)=\dfrac{p\left(V \cap \overline{N}\right)}{p\left(\overline{N}\right)}=\dfrac{p(C \cap V)}{1-p(N)}=\dfrac{0,2\times 0,3}{0,48}=\dfrac{0,06}{0,48}=\dfrac{6}{48}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{8}=0,125}}$

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  