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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 20 juin 2016~\decofourright
}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.

La chaîne A produit 40\,\% des composants et la chaîne B produit le reste.

\smallskip

Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20\,\% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5\,\%.

\smallskip

On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

On note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne A \fg
\item[ ] $B$ l'évènement \og le composant provient de la chaîne B \fg
\item[ ] $S$ l'évènement \og le composant est sans défaut \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est $P(S) = 0,89$.
\item Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion $p$ de composants sans défaut.

\smallskip

Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de $400$~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de $0,92$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de 95\,\%.
\item Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de $0,02$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif).

On note $f$ la fonction densité associée à la variable aléatoire $T$. On rappelle que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item pour tout nombre réel $x \geqslant 0,\: f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}$.
\item pour tout nombre réel $a \geqslant 0,\: p(T \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a f(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.5,6.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,griddots=10](0,0)(8,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(7.5,6.5)
\psline(3.4,-0.1)(3.4,0.1)
\uput[d](3.4,0){$a$}\uput[d](7.35,0){$x$}\uput[l](0,6.35){$y$}\uput[dl](0.6,3.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{5 2.71828 0.510826 x mul exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement $P(T \leqslant a)$ où $a > 0$.
		\item Montrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0 \::\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} P(T \leqslant t) = 1$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $P(T \leqslant 7) = 0,5$. Déterminer $\lambda$ à $10^{-3}$ près.
\item Dans cette question on prend $\lambda = 0,099$ et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
	\begin{enumerate}
		\item On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
		
Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
		\item On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.
		
Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
		\item Donner l'espérance mathématique E($T$) de la variable aléatoire $T$ à l'unité près.
		
Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk{} on donne les points :

\[\text{A}(1~;~2~;~3), \text{B}(3~;~0~;~1), \text{C}(-1~;~0~;~1), \text{D}(2~;~1~;~-1), \text{E}(-1~;~-2~;~3) \:\text{et }\: \text{F}(- 2~;~-3,4).\]

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Les trois points A, B, et C sont alignés.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 :} Le vecteur $\vect{n}(0~;~1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).

\smallskip

\textbf{Affirmation 3 :} La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC].

\smallskip

\textbf{Affirmation 4 :} Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x - \ln \left(x^2 + 1\right).\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $R$ l'équation : $f(x) =x$.
\item Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ que l'on admet.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$1$} \uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$} 
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){+}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](8.5,2){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(2,0.3)(8,1.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], $f(x)$ appartient à [0~;~1].
\item  On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables 	&$N$ et $A$ des entiers naturels ;\\ \hline
Entrée 		&Saisir la valeur de $A$\\ \hline
Traitement 	&$N$ prend la valeur $0$\\
			&Tant que $N - \ln\left(N^2 + 1\right) < A$\\
			&\hspace{0,6cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
			&Fin tant que\\ \hline
Sortie &Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Que fait cet algorithme ?
		\item Déterminer la valeur $N$ fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour $A$ est 100.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n -\ln \left(u_n^2 + 1\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ appartient à [0~;~1].
\item Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
\item On note $\ell$ sa limite, et on admet que $\ell$ vérifie l'égalité $f(\ell) = \ell$.

En déduire la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls $(a,\:b)$, on note pgcd$(a,\:b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$.

Le plan est muni d'un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exemple. Soit $\Delta_1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
		\item Existe-il au moins un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
	\end{enumerate}
	
\textbf{Généralisation}
	
\medskip
	
On considère désormais une droite $\Delta$ d'équation $(E) \::\: y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(m,\: n) = \text{pgcd}(p,\: q) = 1$.
	
Ainsi, les coefficients de l'équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle.
	
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu'une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
	
\item On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $\left(x_0,\:y_0\right)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs.
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$.
		\item En déduire que $q$ divise $n$.
	\end{enumerate}
\item Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple 
	$\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que
$y_0 = \dfrac{m}{n}x_0 - \dfrac{p}{q}$.

	\begin{enumerate}
		\item On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv = 1$.
		\item En déduire qu'il existe un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que 
		
$y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}&$M, N, P, Q$ : entiers relatifs-nom nuls, tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\:Q) = 1$\\
					&$X$ : entier naturel\\
\textbf{Entrées :}	&Saisir les valeurs de $M, N, P, Q$\\
\textbf{Traitement et sorties :}&\\
					&Si $Q$ divise $N$ alors\\
					&\begin{tabular}{|l}
					$X$ prend la valeur $0$\\
					Tant que $\left(\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{n'est pas entier}\right)$\\  et $							\left(-\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}  \text{n'est pas entier}\right)$ faire\\
						\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
						$X$ prend la valeur $X + 1$
						\end{tabular}\\
					Fin tant que\\
					Si $\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$ est entier alors\\
					\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}
						Afficher $X, \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$
						\end{tabular}\\
					Sinon\\
					\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{|l}	
					Afficher $-X,  - \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}$
					\end{tabular}\\
					Fin Si\\
					\end{tabular}\\
					&Sinon\\
		&\begin{tabular}{|l}
		Afficher \og Pas de solution \fg
		\end{tabular}\\
			&Fin Si\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\: Q) = 1$.
		\item Que permet-il d'obtenir ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Lors d'un match de rugby, un joueur doit
transformer un essai qui a été marqué au
point E (voir figure ci-contre) situé à
l'extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon
par un coup de pied depuis un point T que
le joueur a le droit de choisir n'importe où
sur le segment [EM] perpendiculaire à la
droite (AB) sauf en E. La transformation
est réussie si le ballon passe entre les
poteaux repérés par les points A et B sur la
figure.}\hfill\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(11.6,8)
\psframe(0.5,0)(10.8,7.3)\psline(5.65,0)(5.65,7.3)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(5.65,0.75)%EM
\uput[l](0.5,0.75){E}\uput[r](5.65,0.75){M}
\uput[l](0.5,3.3){A}\uput[l](0.5,3.9){B}\uput[ur](2.8,0.75){T}
\psline[linestyle=dashed](0.5,3.3)(2.8,0.75)(0.5,3.9)
\rput{90}(6,3.65){Ligne médiane}\rput{90}(11.2,3.65){Limite du terrain}
\uput[u](5.65,7.3){Terrain vu de dessus}
\psline(0.35,3.9)(0.65,3.9)\psline(0.35,3.3)(0.65,3.3)
\psline(10.65,3.9)(10.95,3.9)\psline(10.65,3.3)(10.95,3.3)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.5)(2.8,0.5)\uput[d](1.65,0.6){$x$}
\end{pspicture}
}

\medskip

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ le plus grand possible.
\smallskip

Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note $x$ la longueur ET, qu'on cherche à déterminer.

\medskip

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETA}}$, $\beta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETB}}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer $\tan \alpha$ et $\tan \beta$ en fonction de $x$.

La fonction tangente est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
\item Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$.
\item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ admet une mesure $\gamma$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure. 

On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, 

$\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a  \times \tan b}$.

Montrer que $\tan \gamma = \dfrac{5,6x}{x^2 + 765}$.
\item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum lorsque sa mesure $\gamma$ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0~;~50] de la fonction $f$ définie par : $f(x)= x+ \dfrac{765}{x}$.

Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et déterminer cette valeur de $x$ au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ à $0,01$ radian près.
\end{enumerate}
\end{document}